PROBLEMA 1:

La funcion A(N) crece bastante lento. De hecho, se puede demostrar por 
induccion que A(N) = N techo(log_2 N) - 2^techo(log_2 N) + 1. Tambien se 
habran dado cuenta que A(N) se puede calcular recursivamente sin gran 
perdida de velocidad. Sin embargo, la idea era practicar las tecnicas de 
recursion con memoria o las de calculo iterativo. Como la primera es una 
tecnica bastante mecanica, les muestro un fragmento que usa la segunda. 
Las respuestas a la pregunta son A(3) = 6, A(31) = 155, A(314) = 2629, 
A(3141) = 36738 y A(31415) = 469873.

  a[1] = 1;
  for (i = 2; i <= n; i++)
    a[i] = a[i/2] + a[(i+1)/2] + i - 1;

PROBLEMA 2:

La funcion B(N) tambien crece bastante lento. La pregunta es si pueden 
decir cuanto vale exactamente B(N) en terminos de N. Por supuesto que esta 
funcion tambien puede calcularse recursivamente, pero abajo les muestro un 
fragmento que lo hace de forma iterativa. Las respuestas a esta pregunta 
son B(2) = 1, B(27) = 4, B(271) = 1, B(2718) = 44 y B(27182) = 3.

  b[1] = 1;
  for (i = 2; i <= n; i++) {
    b[i] = 0;
    for (j = 1; j < i; j++)
      if (!(i % j))
        b[i] += b[j];
  }

PROBLEMA 3:

La funcion C(N) crece bastante rapido. De hecho, se puede demostrar que 
C(N) = comb(2N-2, N-1) / N, aunque es mas facil demostrar que C(N) es el 
numero de formas de escribir N parejas de parentesis balanceados. Las 
respuestas a esta pregunta (usando unsigned long long int) son C(4) = 5, 
C(16) = 9694845, C(64) = 7096100506878905693, C(256) = 5598810189732485341 
y C(1024) = 3459560239708030685. Esta funcion ya no se puede calcular de 
forma recursiva eficientemente. Debieron haber usado al menos la tecnica 
de recursion con memoria o la de calculo iterativo como muestro abajo.

  c[1] = 1;
  for (i = 2; i <= n; i++) {
    c[i] = 0;
    for (j = 1; j < i; j++)
      c[i] += c[j]*c[i-j];
  }