Intervalos de continuidad clasificacion de discontinuidades
Continuidad
Una función es continua en un punto x = c si se satisface que el límite de la función cuando x tiende al valor de c es igual a la imagen en x = c, que es f ( c ), esto es:
Si: $\lim_{x\rightarrow c}f(c)$ entonces $f ( x )$ es continua en $x = c$.
Lo que significa que el valor al que la función se acerca o toma, en la vecindad de $x = c$ es el mismo que en el punto $x = c$ por lo que la función es continua en ese punto.
Cuando la condición no se cumple se dice que la función es discontinua en ese punto.
La continuidad de una función en un punto se puede extender a todo un intervalo, esto es si:
$\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$ para todo valor de $c∈(a\;,\;b)$ entonces $f ( x )$ es continua en $(\;a\;,\;b\;)$.
Para considerar intervalos cerrados, además se debe probar la condición de continuidad en forma lateral en los extremos del intervalo, esto es:
$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a)$ y $\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)=f(b)$
Gráficamente la función no tiene cortes ni agujeros en el intervalo de continuidad.
Clasificación de discontinuidades.
Si $f ( x )$ es discontinua en $x = b$ y se cumple que:
- Existe $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=L$ entonces la discontinuidad es removible y su gráfica presentará un agujero en el punto de coordenadas $( b , L )$.
O bien:
- No existe $\lim_{x\rightarrow b}f(x)$ o es infinito, entonces la discontinuidad es esencial y su gráfica presentará un salto en $x = b$.
