Función Racional

Una función racional tiene la forma $f(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ donde $P_n(x)$ es un polinomio de grado $n$ y $Q_m(x)$ es otro polinomio de grado $m$.

El ejemplo básico de una función racional es la hipérbola (girada y trasladada) cociente de dos polinomios de primer grado o constante sobre polinomio de primer grado, que en su forma más simple es $f(x)=\frac{1}{x}$ cuya gráfica es:

Dominio: $D_f : \; x\in\mathbb{R}-{0}$

Ceros o raíces: no tiene

Paridad: función impar, gráfica simétrica al origen. Satisface que $f(-x)=-f(x)$

Punto de corte al eje y: no tiene.

Asíntota horizontal: $y=0$.
Límites: $\underset{x\to \infty}{\lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{\infty}= 0$
$\underset{x\to -\infty}{\lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{-\infty}= 0$

Asíntota vertical: $x=0$.
Límites: $\underset{x\to 0}{\lim}\frac{1}{x}=\frac{1}{0}: No\; existe $

Intervalos de continuidad:
Función continua para $ x\in\mathbb{R}$
Punto de discontinuidad esencial o infinita en $x=0$.

Rango: $ y \in\mathbb{R}$

Monotonía: $f(x)$ es creciente para, $ x\in (0, \infty)$, y decresiente para $x\in (-\infty,\;0)$.

Signos de la función:
La función es positiva, $f(x)>0$ para $x \in (0,\infty)$
La función es negativa, $f(x)<0$ para $x \in (-\infty,\;0)$

Ejemplo:

Para la función $f(x)=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}$

Obtener el dominio, los ceros o raíces, la paridad, el punto de corte al eje $y$, las asíntotas verticales y horizontales, los intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades, el esbozo gráfico, el rango, la monotonía y los intervalos donde es positiva o cero y donde es negativa.

Dominio: el dominio de la función son todos los reales tales que su denominador es diferente de cero:

                                                     $x^3-16x\neq0$
                                                     $x(x^2-16)\neq0$
                                                      $x\neq0$     $x^2\neq16$
                                                           $x\neq\pm4$
                                                     $x\in\mathbb{R}-\left \{ -4,0,4 \right \}$

o $D_f=(-\infty,-4)\cup(-4,0)\cup(0,4)\cup(4,\infty)$, ya que para esos valores de $x$ se puede obtener su valor correspondiente de $y$.

Ceros o raíces: $y=f(x)=0$

                               $\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=0$
                               $x^3-9x=0$
                               $x(x^2-9)=0$
                               $x=0$ pero $x=0 {\notin} D_f$ entonces no es raíz
                               $x^2=9$
                               $x=\pm3$

La función tiene dos raices $x=-3$ y $x=3$.

La gráfica corta al eje $x$ en $-3$ y $3$ coordenadas $(-3,0)$ y $(3,0)$

Paridad:$$f(-x)=\frac{(-x)^3-9(-x)}{(-x)^3-16(-x)}=\frac{-x^3+9x}{-x^3+16x}=\frac{-(x^3-9x)}{-(x^3-16x)}=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=f(x)$$

$f(x)$ es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje $y$.

Punto de corte al eje $\boldsymbol{y}$:

$y=f(0)$ pero $x=0\notin D_f, \; \;f(0)$ no existe. Por lo que no hay punto de corte al eje $y$.

Asíntotas verticales: (calcular el límite de la función en los valores que generen una división entre cero en la función) $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}: \;\frac{0}{0} \; indeterminado. $$ $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x^2-9)}{x(x^2-16)}= \lim_{x\rightarrow 0}=\frac{x^2-9}{x^2-16}=\frac{-9}{-16}=\frac{9}{16}\approx0.56$$
La función no tiene asíntota vertical en $x=0$
$$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-9}{x^2-16}: \;\frac{7}{0} \; \; ¿-\infty, \infty \; \; \text{o no existe}? $$ Hay que calcular límites laterales: $$\lim_{x\rightarrow 4^+}\frac{x^2-9}{x^2-16}=\frac{7}{0^+}=\infty$$ $x$ se acerca a $4$ por la derecha tomando valores como $4.1$, $4.01$, $4.001$ etc. entonces el denominador se acerca a cero tomando únicamente valores positivos y el cociente de un número positivo entre un número positivo da un número positivo, por lo que el resultado del límite es infinito. $$\lim_{x\rightarrow 4^-}\frac{x^2-9}{x^2-16}= \frac{7}{0^-}=-\infty$$ $x$ se acerca a $4$ por la izquierda tomando valores como $3.9$, $3.99$, $3.999$ etc. entonces el denominador se acerca a cero tomando únicamente valores negativos y el cociente de un número positivo entre un número negativo da un número negativo, por lo que el resultado del límite es menos infinito. $$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-9}{x^2-16} \; \; \; \text{ no existe}$$ No existe, ya que los límites laterales son diferentes. y $f(x)$ tiene una asíntota vertical de ecuación $x=4$ y por la paridad de la función tendrá otra de ecuación $x= - 4$, la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje $y$.

Asíntotas horizontales: (calcular el límite de la función en infinito y en menos infinito) $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-9}{x^2-16}: \;\frac{\infty}{\infty} \; \text{Indeterminado.} $$ $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2(1-\frac{9}{x^2})}{x^2(1-\frac{16}{x^2})}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{16}{x^2}}=\frac{1-0}{1-0}=1 $$ y análogamente
$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2-9}{x^2-16}=1 $$ $f(x)$ tiene una asíntota horizontal de ecuación $y=1$.

Intervalos de continuidad: $f(x)$ es continua en su dominio ya que $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=\frac{a^3-9a}{a^3-16a}=f(a)$$ para todo valor de $a$ diferente de $-4,$ $0$ y $4$. Por lo que $f(x)=\frac{x^3-9x}{x^3-16x}$ es continua en el intervalo $(-\infty,-4)\cup(-4,0)\cup(0,4)\cup(4,\infty)$

Clasificación de discontinuidades: la función es discontinua removible en $x=0$ ya que tiene límite en ese punto $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3-9x}{x^3-16x}=\frac{9}{16}\approx0.56$, la gráfica presenta un agujero de coordenadas $(0 ,\frac{9}{16})$. Y es discontinua esencial infinita en $x=4$ y en $x=-4$ porque los límites en esos puntos no existen.

Esbozo gráfico:

Rango: $y\in(-\infty,\frac{9}{16})\cup(1,\infty) $ o rango=$ (-\infty,\frac{9}{16})\cup(1,\infty) $

Monotonía:
$y=f(x)$ crece para $ x\in(-\infty,-4)$ (los valores de $y$ aumentan, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje $x$).
$y=f(x)$ crece también para $ x\in(-4,0)$.

Intervalos donde la función es positiva o cero y donde es negaiva.

De la gráfica se puede ver que

$\boldsymbol{y=f(x)\geq0:} \text{ para } x\in(-\infty,-4)\cup[-3,0)\cup(0,3]\cup(4,\infty)$