Función Radical
Una función radical es una función que tiene la forma $f(x)=\sqrt{P_n(x)}$. Donde $Pn(x)$ es un polinomio de grado $n$.
Como ejemplo básico y sencillo se puede considerar a $f(x)=\sqrt{x} $, semi-parábola de eje horizontal cuya gráfica es:
- Dominio: $D_f : \; x≥0$
- Ceros o raíces: $x=0$.
- Paridad: No tiene.
- Punto de corte al eje y: $y=f(0)=0$, punto de coordenadas $(0 , 0)$.
- Asíntota horizontal: no tiene.
Límites: $\underset{x \to \infty}{\lim}\sqrt{x}=\infty$
$\;\;\;\;\underset{x \to -\infty}{\lim}\sqrt{x}=No\;existe$
- Asíntota vertical: no tiene, ningún valor de $x$ genera una división entre cero.
- Intervalos de continuidad :
Función continua para x en su dominio,
Punto de discontinuidad no tiene, pero obsérvese que la función no está definida para $x \in (-\infty,0)$
- Rango: $y≥0$
- Monotonía: $f(x)$ es creciente para $x\in[0, \infty)$
- Signo de la función:
La función es positiva, $f(x)>0$ para $x\in(0, \infty)$
La función es negativa, $f(x)<0$ para $x\in ∅$ (ningún valor de $x$)
Ejemplo:
Para la función $f(x)=\sqrt{x^2-25}$.
Obtener el dominio, los ceros o raíces, la paridad, el punto de corte al eje $y$, las asíntotas verticales y horizontales, los intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades, el esbozo gráfico, el rango, la monotonía y los intervalos donde es positiva o cero y donde es negativa.
- Dominio: el dominio de la función son todos los reales tales que:
$$x^2-25\geq 0$$
$$x^2\geq 25$$
$$|x|\geq \sqrt{25}=5$$
$$x\geq5\;\;\;\; o\;\;\;\; x\leq -5$$
$$x\in(-\infty,-5]\cup[5,\infty) $$
$D_f=(-\infty,-5]\cup[5,\infty) $, ya que para esos valores de $x$ se puede obtener su valor correspondiente de $y$.
- Ceros o raíces:
$$y=f(x)=0$$
$$\sqrt{x^2-25}=0$$
$$x^2-25=0$$
$$x^2=25$$
$$x=\pm5$$
La función tiene dos raíces en $x=-5$ y $x=5$
La gráfica corta al eje $x$ en $-5$, y $5$ coordenadas $(-5,0)$ y $(5,0).$
- Paridad: $f(-x)=\sqrt{(-x)^2-25}=\sqrt{x^2-25}=f(x) $
la función $f(x)$ es par, su gráfica es simétrica con respecto al eje $y$.
- Punto de corte al eje $\boldsymbol{y}$: $y=f(0)=$ $\sqrt{0-25}$ $∉ \mathbb{R} $ , el punto $x=0$ $∉D_f$ por lo que no hay punto de corte al eje $y$.
- Asíntotas verticales: no tiene, ya que ningún valor de $x$ genera una división entre cero en la función.
- Asíntotas horizontales: (calcular el límite de la función en infinito y en menos infinito)
$$\lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt{x^2-25}=\infty$$
$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{x^2-25}=\infty$$
$f(x)$ no tiene asíntota horizontal.
- Intervalos de continuidad: $f(x)$ es continua en su dominio ya que:
$$\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{x^2-25}=\sqrt{a^2-25}=f(a)$$
$$\text{ para }a\in(-\infty,-5)\cup(5,\infty) $$
$$\lim_{x\rightarrow -5^-}\sqrt{x^2-25}=\sqrt{0^+}=0$$
$$\lim_{x\rightarrow 5^+}\sqrt{x^2-25}=\sqrt{0^+}=0$$
por lo que $f(x)$ es continua para $x\in(-\infty,-5]\cup[5,\infty)$.
- Clasificación de discontinuidades:
la función no tiene puntos discontinuidad pero hay que tomar en cuenta que la función no existe para $x\in(-5,5)$.
- Esbozo gráfico:
- Rango: $y\in[0,\infty)$ o rango=$[0,\infty)$.
- Monotonía: $y=f(x)$ decrece para $x\in(-\infty,-5]$ (los valores de $y$ disminuyen, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje $x$)
$y=f(x)$ crece para $x\in[5,\infty)$ (los valores de $y$ aumentan, vistos de izquierda a derecha como lo indica el sentido positivo del eje $x$).
- Intervalos donde la función es positiva o cero y donde es negativa.
De la gráfica se puede ver que
$\boldsymbol{f(x)\geq 0}$ para $x\in(-\infty,-5]\cup[5,\infty) $
$\boldsymbol{f(x)<0}$ nunca.
