Bienvenidos

La supercomputadora del Cinvestav-Abacus entró en operación hace tres años aproximadamente con un rendimiento de 430 Tflops. A la fecha sigue siendo la supercomputadora con el mayor poder de cómputo en el país y ha permitido realizar en el país cálculos numéricos que antes no era posible. Se hace una breve descripción de la supercomputadora de Cinvestav-Abacus y de algunas de las simulaciones realizadas en diversas ramas de la ciencia y la ingeniería.

Sierpinski hizo notar que si p es un número primo, entonces como consecuencia del Teorema de Fermat, se tiene que $$ 1^{p-1} + 2^{p-1} + \dots +(p-1)^{p-1} + p^{p-1} \equiv -1 \pmod p.$$ En 1950 Giuseppe Giuga conjeturó que el recíproco también es cierto es decir que: Si $$1^{n-1} +2^{n-1} +\cdots + (n-1)^{n-1} + n^{n-1} \equiv -1 \pmod n,$$ entonces $n$ es un número primo. Hasta la fecha, la Conjetura de Giuga sigue abierta.
En esta charla platicaremos sobre los resultados conocidos en esta dirección (muy pocos), para lo que se hace necesario hablar de los Números de Carmichael, los Números de Giuga y de paso mencionar la Conjetura de Lehmer.

Se introducen los llamados operadores de Toeplitz en el espacio de Bargmann. Dicho espacio consiste de las funciones enteras en $\mathbb C^N$ pertecientes a $L^2$ con el peso gaussiano $\mathrm{exp}(-k|z|^2)$. Los operadores de Toeplitz son operadores de gran importancia en análisis complejo y en física matemática. Cada operador de Toeplitz tiene asociado un símbolo que es una medida de Borel en $\mathbb C^N$. Para el caso de medidas soportadas en una variedad, se presentarán resultados en los que se estudia el comportamiento asintótico de trazas de estos operadores así como del cálculo funcional de éstos cuando $k$ tiende a infinito.

Se considera el problema espectral del par de Lax asociado a una ecuación diferencial parcial periódica completamente integrable. Se supone que en este problema espectral el operador es multiplicativo, polinomial en el parámetro espectral, y de grado $d$. Con estas suposiciones (y para un n entero no negativo), se encuentran las densidades conservadas así como la curva hiperelíptica de género $n + d$ necesaria para resolver el problema inverso. Para tal fin, se obtiene así una fórmula recursiva, así como $d$ condiciones extra que proporcionan información para integrar la ecuación en consideración. Se muestran como ejemplos la ecuación de Korteweg-deVries (KdV) y la ecuación no lineal de Schrödinger (NLS).

Sean $-1< q <\infty$, $0\leq p<\infty$. Una función analítica $f\colon\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ pertenece al espacio de Bergman $\mathcal A_q^p$ si $f\in L^p(\mathbb{D}, dA_q)$, donde $d A_q ( w )= (q+1)(1-\vert w\vert^2)^q\,dA$ y $w\in \mathbb{D}$ el disco unitario de $\mathbb{C}$, ver $[1]$. Esto es $$\int_\mathbb{D} \vert f(w)\vert^p\, dA_q(w)<\infty.$$ Sean $0< s <\infty$ y $z\in \mathbb{D}$. Se adiciona el peso $(1-\vert \varphi_z(w)\vert^2 )^s$ en la definición del espacio de Bergman. Así se dice que $f\in$ $ _{s}\mathcal{A}^p_q$ si $$\sup_{z\in \mathbb{D}}\int_\mathbb{D} \vert f(w)\vert^p(1-\vert \varphi_z(w)\vert^2 )^s\, dA_{q}(w)<\infty\ .$$ El siguiente resultado es bien conocido, ver $[1]$.
Teorema.
Sean $-1< q,\ \beta <\infty$ y $1\leq p<\infty$. Entonces la proyección de Bergman $\mathbf{P}_\beta$ es una proyección acotada de $L^p(\mathbb{D}, dA_q)$ sobre $\mathcal{A}_q^p$ si y sólo si $q+1<(\beta +1)p$.
En esta plática se presentan algunas propiedades de los espacios tipo Bergman $_{s}\mathcal{A}^p_q$ y se considera la proyección de Bergman $\mathbf{P}_\beta$ de $L^p(\mathbb{D}, dA_q)$ en el espacio ponderado de Bergman $_{s}\mathcal{A}^p_q$ para $q+1\geq(\beta +1)p$.
Referencias
[1] Hedenmalm, H., Korenblum, B., and Zhu, K.; Theory of Bergman Spaces , Springer, New York, 2000.

Como es bien sabido, el teorema de Fubini, relaciona la integral de Riemann de un función $f \colon \mathbb R^n \to\mathbb R$ en algún subconjunto cuadrable y acotado de $\mathrm{Dom}(f)$, con las integrales reiteradas de $f$, si es que éstas existen. Es también conocido el hecho de en el caso de que el integrando sea continuo, el teorema de Fubini y el principio de Cavalieri son equivalentes.
En esta ponencia exhibiremos ejemplos de funciones de $\mathbb R^2$ a $\mathbb R$, que presenten patologías tales como la no existencia de alguna o ambas integrales reiteradas, la existencia de las integrales reiteradas sin que la función sea Riemann-integrable o bien en donde sea imprescindible intercambiar el orden de integración reiterada para conocer el valor de la integral de la función.

Dentro del marco de la Teoría de Probabilidad no Conmutativa la charla discute los tipos de independencia libre, booleana, monótona y ortogonal y su relación con distintos tipos de productos de espacios de Hilbert, los cuales sirven como espacio base para proporcionar representaciones de dichas independencias vía operadores acotados.

Dadas $u,f \in L^2(\mathbb R^n)$, donde $u$ es solución débil de la ecuación $Q_p u = f$, donde $Q_p = \sum_{|\alpha|=p} a_{\alpha} \partial^{\alpha}$ es un operador homogéneo de orden $p$ con coeficientes positivos $a_{\alpha} \ge 0 $, el problema consiste en estudiar la regularidad de $u$ con la condición de que
1) $f \in C^{\gamma}(\mathbb R^n)$, donde $0 < \gamma < 1$. Aplicando la Transformada wavelet se puede concluir que en este caso $u \in C^{p + \gamma}(\mathbb R^n)$.
2) $f \in H^k (\mathbb R^n)$, donde $k$ es un entero positivo. Aplicando la Transformada wavelet se puede concluir que en este caso $u \in H^{p + k}_{loc}(\mathbb R^n)$.

Se presentarán algunas de las ideas involucradas en la demostración de Fefferman al teorema de extensión de Whitney y algunas ramificaciones en áreas de las matemáticas.

Uno de los resultados coyunturales entre la teoría y la aplicación de wavelets es que la trasformada wavelet continua puede expresarse como una convolución entra una función wavelet y la función $f$ bajo estudio. La transformada wavelet incluye parámetros de dilatación y escalamiento y permite obtener información en tiempo-frecuencia de $f$. Los parámetros de dilatación y traslación pueden discretizarse para obtener la transformada wavelet discreta, de las cuales la más ampliamente conocida es la transformada diádica y como caso particular, la transformada Haar. La transformada wavelet discreta de una función (discreta) también se puede implementar como una convolución. En la convolución discreta no es requerida la ecuación de la función wavelet sino su representación con filtros. Los filtros pueden ser ortogonales y de reconstrucción perfecta. Existe un número infinito de filtros de reconstrucción perfecta, entre los cuales destacan filtros publicados por Ingrid Daubechies, los cuales maximizan el número de momentos de desvanecimiento para una longitud dada. Se abordará el caso de estudio de filtros paramétricos de longitud 2, 4, 6, 8, 10 y 12 y se mostrarán algunas de sus propiedades más importantes, así como sus posibles aplicaciones en el procesamiento de imágenes (watermarking & compression) y en redes neuronales (function approximation & data classification) entre otras.