Presentación

El objetivo de las Jornadas de Análisis Matemático y sus Aplicaciones es dar a conocer el trabajo de investigación que realiza el personal académico del Departamento de Ciencias Básicas de la UAM-Azcapotzalco, en general, y del Área de Análisis Matemático y sus Aplicaciones en particular, así como también instituciones de Investigación y Educación Superior como la Escuela de Física y Matemáticas del IPN, el CINVESTAV, las otras unidades de la UAM, entre otras, para fomentar el trabajo en equipo, interinstitucional y multidisciplinario entre los miembros de las mismas, y así fomentar el trabajo, la educación y la investigación de primer nivel en el país, por lo que profesores de estas instituciones reconocidas son invitados a participar también en nuestras Jornadas.

Dr. Lino Feliciano Reséndis Ocampo

Programa
Las conferencias se realizarán en la Sala de Seminarios del Departamento de Ciencias Básicas, Edificio HP, Planta Baja.

Cantor, Sierpinski y Menguer, un trío esponjoso

Uno de los ejemplos clásicos en el estudio del análisis matemático es ese maravilloso hecho que nos deja ver el Conjunto de Cantor: Un conjunto con la cardinalidad de los números reales y de medida cero. Las versiones de este conjunto en otras dimensiones son: La carpeta de Sierpinski y la esponja de Menger y podríamos ir un poco más allá. En esta plática vamos a dar un método para dibujar las primeras iteraciones de la construcción de estos conjuntos a partir de una observación muy simple sobre la expansión ternaria de las coordenadas de los puntos que forman estos conjuntos. Así, el conjunto de Cantor, la carpeta de Sierpinski y la esponja de Menger son “esponjas” en tres distintas dimensiones. En otras palabras: si vas a hacerte la vida de cuadritos, pídele al trío esponjoso que te diga cómo hacerlo con estilo y puedes hacerlo en espacios de dimensión $n$, siendo $n$ un número natural.

Sumas de Gauss en campos finitos, su relación con sumas exponenciales de sucesiones lineales recurrentes

Las sumas de Gauss son un ejemplo clásico de sumas exponenciales, el problema central consiste en determinar estimaciones superiores tan finas como sea posible. Atacar el problema ha sido una tarea multidisciplinaria: análisis matemático, campos de funciones, geometría algebraica y hace 15 años la combinatoria aditiva dio el avance más reciente. Por otra parte, una sucesión lineal recurrente de longitud $r\ge 2$ se define por \[ s_{n+r} = a_{r-1}s_{n + r-1} + \cdots +a_0s_n, \qquad n\ge 0, \] donde $a_{r-1}, \ldots, a_0$ y $s_{r-1}, \ldots, s_0$ son dados. Hablaremos de cómo se estableció una conexión del problema de la estimación de sumas de Gauss y la de sumas exponenciales de sucesiones recurrentes. El resultado principal obtenido mejora la cota clásica de Korobov en varios sentidos, para una clase amplia de sucesiones recurrentes de longitud arbitraria. La herramienta crucial es la estimación de las sumas de Gauss en campos finitos debida a Bourgain--Chang. Para finalizar daremos una aplicación a la criptografía. Trabajo conjunto con Jitendra Bajpai

Representación Theta del grupo de Heisenberg para sistemas de Fermiones y de Bosones

Se muestra la utilidad de la representación irreducible Theta del grupo de Heisenberg en el estudio de sistemas de bosones y de fermiones. Se hace especial énfasis en los cálculos de las densidades de estados excitados, respectivamente de particiones de números enteros. Mediante el empleo de series y productos infinitos para las funciones holomorfas Theta de Riemann-Jacobi con características se establece una relación de equivalencia entre bosones y fermiones.

La función $\varphi$ de Euler y los números de Carmichael, Lehmer y Giuga

En esta charla platicaremos de algunas propiedades de la función $\varphi$ de Euler, los números de Carmichael, Lehmer y Giuga que nos permiten plantear las conjeturas de Carmichael (La ecuación $\varphi(n)=\varphi(m),$ se cumple para al menos dos $m\neq n$), Lehmer (si $\varphi(n) | n-1,$ entonces $n$ es un número primo) y Giuga (si $1^{n-1} +2^{n-1} +\cdots +(n-1)^{n-1} \equiv -1 \pmod n,$ entonces $n$ es un número primo). También estableceremos algunas equivalencias a la Conjetura de Giuga.

Operadores radiales en el espacio de Bergman de funciones polianalíticas

La mayor parte de esta plática está dedicada al espacio de Bergman de funciones $n$-analíticas. Se demuestra la propiedad del valor medio para funciones $n$-analíticas, y se verifica que el funcional de evaluación es acotado. Asimismo se calcula el núcleo reproductor y se construye una base ortonormal. Estos resultados están publicados en artículos de Koshelev (1977), Ramazanov (1999) y Pessoa (2012). Hecho lo anterior, se generalizan estos resultados al espacio de Bergman $n$-analítico con peso. Al final de la plática se estudian los operadores radiales que actúan en este espacio y se muestra que estos operadores forman un álgebra de von Neumann. Esta álgebra se descompone en una suma directa de álgebras de matrices. La plática está basada en investigaciones conjuntas del autor con Roberto Moisés Barrera Castelán y Ana María Tellería Romero.

Ecuación de Beltrami Conjugada con Coeficiente en Espacios de Morrey

Sea $f\in W^{1,2}_{loc}\left(\,\mathbb{C}\,\right)$ una solución cuasiregular de la Ecuación de Beltrami Conjugada $$\overline{\partial}f\,-\,\nu\,\overline{\partial f}\,=\,0\,$$ donde $\nu\in L^\infty_c\left(\,\mathbb{C}\,\right)$ con $\left\|\,\mu\,\right\|_{\infty}= k<1$. Se sabe que cuando el coeficiente tiene algun tipo de regularidad Sobolev, es decir, $\nu \in W^{1,p}_c\left(\,\mathbb{C}\,\right)$ ara alguna $p\geq 1$, entonces $Df$ podría no heredar la regularidad del coeficiente, o heredarla parcial o totalmente dependiendo del valor de $p$. En esta charla daremos a conocer distintos resultados de esta índole cuando el coeficiente $\nu$ pertenece a algún Espacio de Morrey.

El teorema de factorización en $HK(\mathbb R)$ y sus subespacios

El teorema de factorización de Walter Rudin para funciones Lebesgue integrables y sus generalizaciones por P. J. Cohen, y después E. Hewitt y K. A. Ross, plantea una pregunta para el espacio de las funciones integrables en sentido generalizado. Esta generalización para el espacio contrasta con lo que sucede en subespacios de y $L^1(\mathbb R)$ y $L^2(\mathbb R)$.

Distorsión del área de conjuntos medibles del semiplano superior y del disco unitario bajo ciertas clases de mapeos casiconformes

En 2012 Min Chen y Xingdi Chen en su artículo $(K,K')$-quasiconformal harmonic mappings of the upper half plane onto itself, Ann. Aca. Scien. Fen, 2012, pp. 265-276, estudiaron la clase de mapeos armónicos $K$-casiconformes del semiplano superior $\mathbb{H}$ en si mismo y obtuvieron algunas propiedades de estos mapeos. Aplicaron estos resultados para estudiar la distorsión de área de conjuntos medibles bajo esta clase de mapeos armónicos casiconformes. En esta plática se estudia la distorsión de área hyperbólica y euclidiana de conjuntos medibles bajo ciertas clases de mapeos $K$-casiconformes (no necesariamente armónicos) del semiplano en si mismo y del disco unitario en si mismo. En particular se tiene el siguiente resultado:

Teorema.

Sea $f$ un mapeo $K$-casiconforme del semiplano $\mathbb{H}$ en si mismo tal que $f$ mapea una familia de horociclos con un punto tangente común en una familia de horociclos. Entonces para cada conjunto medible $E\subset\mathbb{H}$ se tiene \[ \dfrac{1}{K^9} A_\mathcal{H}(E)\leq A_\mathcal{H}(f(E))\leq K^9 A_\mathcal{H}(E)\] donde $ A_\mathcal{H}(\cdot)$ es el área hiperbólica.

Este es un trabajo conjunto con Alfonso Hernández Montes.

Explosión en sistemas acoplados de ecuaciones hiperbólicas linealmente amortiguadas

Se considera un sistema de evolución acoplado abstracto de segundo orden en el tiempo con términos de amortiguamiento lineal. Para cualquier valor positivo de la energía inicial, en particular para valores grandes, se dan condiciones suficientes en los datos iniciales para concluir la inexistencia de soluciones globales, esto es que existen para cualquier tiempo. El propósito de este trabajo es mejorar considerablemente los resultados existentes para explosión, en tiempo finito, de soluciones de sistemas con energías altas.

Referencia

J. A. Esquivel-Avila, Blow-up of solutions with high energies of a coupled system of hyperbolic equations, Abstract and Applied Analisys: Art. ID 7405725, (2019) 11 pp.

Operadores de desplazamiento en espacios de funciones sobre árboles

Los operadores de desplazamiento (hacia atrás y hacia adelante) se pueden definir en espacios de funciones cuyo dominio son los vértices de un árbol infinito numerable (y localmente finito). La definición de estos operadores depende de la estructura del árbol: es por esto que nos interesa estudiar la relación entre las propiedades de los operadores de desplazamiento y la estructura combinatoria del árbol. A estos espacios de funciones se les puede equipar con distintas normas para volverlos espacios de Banach. Una manera de hacer esto nos lleva al espacio de Lipschitz de funciones en un árbol. En esta charla, daremos una breve introducción a el espacio de Lipschitz de un árbol, y estudiaremos que propiedades de los operadores de desplazamiento se pueden caracterizar a través de la estructura combinatoria del árbol. En particular, nos interesan las propiedades dinámicas de los operadores. (Este es trabajo conjunto con Emmanuel Rivera-Guasco.)

Programa
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Folleto y Poster
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Poster
Ediciones pasadas