(* Funcion de onda en la caja de potencial infinito *)
ψ[x_,n_,L_]=(Sqrt[(2/L)])Sin[((n π)/L)x];

(* valor esperado de p *)vp=Integrate[ψ[x,n,L](-I ℏ D[ψ[x,n,L],{x,1}]),{x,0,L}]

(* valor esperado de (p^2) *)
vp2=Integrate[ψ[x,n,L](-(ℏ^2) D[ψ[x,n,L],{x,2}]),{x,0,L}]

(* varianza y desviacion estandard. Nota que Sin[2 n π]=Sin[n π]=0 para n entero *)
Δp=(Sqrt[vp2-(vp^2)])

Δp/.{n->1}

Δp/.{n->2}

Δp/.{n->3}

(* Δp es diferente de cero ya que en general el Hamiltoniano
y el momento no tienen los mismos eigenvalores. Basta notar que -Iℏ(∂_x)ψ ≠ p ψ *)

(* Sin embargo, para el Hamiltoniano es diferente *)

(* valor esperado de H *)vH=Integrate[ψ[x,n,L](-((ℏ^2)/(2m)) D[ψ[x,n,L],{x,2}]),{x,0,L}]

(* valor esperado de (H^2) *)
vH2=Integrate[ψ[x,n,L]( ((ℏ^4)/(4(m^2))) D[ψ[x,n,L],{x,4}]),{x,0,L}]

(* varianza y desviacion estandard. Nota que Sin[2 n π]=Sin[n π]=0 para n entero *)
ΔH=(Sqrt[vH2-(vH^2)])

ΔH/.{n->1}

ΔH/.{n->2}

ΔH/.{n->3}