MAGNONES

Nota: Los ejemplos y algunos comentarios utilizados en este notebook han sido tomados de Introduction To Solid State Physics, C.Kittel, (7^TH) Ed.

Exitación termica de Magnones

En el equilibrio térmico la estimación promedio del número de magnones exitados en el modo (Overscript[k, →]) es dado por la distribución de Plank:

⟨(Subscript[n, k])⟩=(1/(exp (ℏ(Subscript[ω, k])/(Subscript[k, B])  T) - 1))      (1)

El numero total de magnones exitados a la temperatura T es

\(∑\+\(k = 0\)\%∞ n\_k = ∫D \((ω)\) ⟨n \((ω)\)⟩ dω\ \ \ \ \ \((2)\)\)

donde D(ω) es el número de modos de los magnones por unidad de frecuencia. La integral es tomada debajo del rango permitido de (Overscript[k, →]),  
      que es la primera zona de Brillouin.

Determinación de D(ω)

Para calcular el número de modos, relacionamos la energía interna de una celda unitaria

		     		 D( ∈ ) dϵ = (1/v) (d^3) k 		(3)
 
donde:  v: es el volumen de una celda unitaria en el espacio recíproco:

  v= (((((2  π)/Na)))^3)=((8  (π^3))/V)    

y V es el volumen total.

La ecuación de Plank  ∈=ℏω nos permite escribir:

				D(ω)dω = (V/(8  (π^3))) (d^3) k		(4)

((d^( 3)) 
          k) = (2 (∫_0^(2  π))(∫_0^(π/2))Sin[θ] \[DifferentialD]θ \[DifferentialD]ρ ) (k^2) (dk)

De la Relación de Dispersión:

k = (Sqrt[(ω/α)]);
 (dk) = 
      Dt[k, ω, 
        Constants -> {α}]
"Dt[k] se escribe como";

α = ((2  (JSa^2))/ℏ);
%3

Asi (d^3) k se escribe como:

FullSimplify[%1]

De manera que:

D (ω) dω = (V/(8  (π^3))) %7  
        dω

El número de modos se escribe como:

			D(ω)dω = \(\(\(\(\(V\)\(\ \)\)\/\(\(4\)\(\ \)\(π\^2\)\(\ \)\)\) \(\((ℏ\/\(2  JSa\^2\))\)\^\(3/2\)\) \(\@ω\) \(dω\)\(\ \)\)\) 	 (4')

Calculo del número total de magnones

El número total de magnones se obtiene sustituyendo la ecuación (1) y (4´) en la ecuación (2), asi:

		 \(n = \(∑\+\(k = 0\)\%∞ n\_k = \(\(\(1\)\(\ \)\)\/\(\(4\)\(\ \)\(π\^2\)\(\ \)\)\) \(\((ℏ\/\(2  JSa\^2\))\)\^\(3/
                  2\)\) \(∫\_0\%∞\( 
                    1\/\(e\^\(ℏω\/\(\(K\_B\) T\)\) - 1\)\) \(\@ω\) dω\)\)\)	(5)
con x=ℏ(ω/((Subscript[K, B]) T));

n = ((1 )/(4 (π^2) )) ((((((Subscript[K, B]) T)/(2  (JSa^2)))))^(3/2)) 
        NIntegrate[
          x^(1/2)/(Exp[x] - 1), {x, 0.00000001, 100000}]

Cambio Fraccional de magnetización

El número N de átomos por unidad de volumen es Q/(a^3), donde Q = 1, 2, 4 para: red cúbica simple, cúbica centrada en el cuerpo, cúbica centrada en las caras respectivamente. Ahora Σ(Subscript[n, k])/NS es igual a el cambio fraccional de magnetización ΔM/M(0) = M.

Clear[T, J, S, a]; 
    M = ((0.020731860040833577` (((((T (Subscript[K, B]))/(JSa^2))))^(3/2)))/QS) 
        (a^3)

Si consideramos una estructura ccc se tiene que Q=4; por lo tanto para el Fe en su estado base se tiene S=1, J= 4;

Clear[Q, S, J, T, a];
f[
          T _] = (0.02073/(4*1)) (((((T (Subscript[K, B]))/(4*1))))^(3/2));
(Subscript[K, B]) = 1.38*(10^(-23));  f[T _]

Plot[
        3.3209929478774206`*^-38 (T^(3/2)), {T, 0, 1000}];

Resultados obtenidos experimentalmente

Se ha encontrado experimentalmente que el termino ΔM tiene la forma:

					ΔM/M(0) = 	A(T^(3/2))   	(6)

donde la constante A tiene el valor experimental  (3.4±0.2)x(10^(-6))   (deg^(-3/2))para el Fierro.

Plot[3.4*(10^(-6)) (T^(3/2)), {T, 0, 1000}];

A continuación graficamos ambos resultados:

Plot[{3.3×(10^(-6)) (T^(3/2)), 
          3.4*(10^(-6)) (T^(3/2))}, {T, 0, 1000}, 
        PlotStyle -> {Hue[0.6], Hue[0.9]}];