El principio de mínimos cuadrados establece un criterio matemático a través del cual, es posible encontrar la "mejor" línea para un conjunto de parejas de datos. La ventaja de usar un criterio matemático sobre otros métodos visuales (a ojo) es que, en estos últimos, dependemos del juicio personal del experimentador. Por mucho esmero y cuidado que se tenga, los métodos de ajuste visuales no nos dan la seguridad de la importancia cuantitativa de los datos.
A continuación haremos una explicación que nos permita entender el criterio matemático que
establece el método de mínimos cuadrados para encontrar la ''mejor" recta que describa el
comportamiento lineal (si es el caso) de un conjunto de parejas de datos. Supongamos que hemos
registrado
valores de una variable
medidos como una función de otra variable
. El método
de mínimos cuadrados supone que la incertidumbre asociada a la variable
es mucho más pequeña
que la incertidumbre asociada a la variable
. En otras palabras, que los valores de
se conocen con
una precisión mucho mayor que los de la variable
.
La pregunta por contestar es: ¿cuál de todas las líneas en el plano
escogemos como la mejor,
y que queremos decir con ''la mejor"?
Para lo anterior mostramos en la figura los puntos que representan a nuestras
parejas de
datos en el plano
. En esta gráfica se muestra la línea
como la candidata a la ''mejor" línea.
Consideremos todos los intervalos verticales entre cada punto ''experimental" y la línea. Estos intervalos
estan indicados por los segmentos
,
,
, etc.
Se define la ''mejor" línea como aquella que minimiza la suma de los
cuadrados de las longitudes de todos estos segmentos, es decir
![]() |
(A.1) |
Encontrar la ''mejor" recta que satisfaga este criterio de minimizar la cantidad
anterior, significa encontrar el valor numérico de pendiente
y ordenada al
origen
de la misma.
Si suponemos que la ecuación de la mejor recta que representa el comportamiento
lineal de las
parejas de datos mencionadas es:
Así el tamaño del segmento
se obtienen en general sustituyendo
en términos de la ecuación anterior,
El criterio de mínimos cuadrados nos permite obtener los valores deseados de
y
a partir
de minimizar la cantidad
, así
Si desarrollamos algebraicamente la suma de binomios que forman la cantidad
de la ecuación dada por (A.11) tenemos que
Resolviendo este sistema de ecuaciones para
y
respectivamente se obtienen las fórmulas básicas de ajuste de pendiente
y ordenada al origen
de la ''mejor" recta que describe el comportamiento lineal de las
parejas de datos,
Por completez, damos a continuación (sin hacer la deducción) las fórmulas
de las incertidumbres, que el método
de mínimos cuadrados, asocia tanto a la pendiente
, como a la ordenada al origen
,
Por cuestiones prácticas se recomienda construír la siguiente tabla con el fin de hacer claros los cálculos y en su caso poder reproducirlos facilmente y verificar los resultados.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |