Resultados

En esta sección se presentan los resultados obtenidos sobre posición promedio $(x,y)$ , entropía de Shannon y en algunos casos la evolución temporal de la densidad de probabilidad de paquetes de onda en diferentes condiciones físicas. En todos los ejemplos el paquete al tiempo $t=0$ está dado por $\kett{\Psi(0)}=(1,0,0,\cdots,0)$ , que en representación de coordenadas espaciales corresponde a una gaussiana localizada en el origen.
En todos los ejemplos el campo eléctrico de vias se aplica en la dirección de las $x$ positivas, con frecuencia $\omega_0=0.0000001$ y $E_0=0.115$ . El intervalo de tiempo empleado en todos los casos es $\triangle t=0.00015$ , que permite el estudio a lo largo de $180\times1000$ iteraciones, lo que equivale aproximadamente a 24 oscilaciones de ciclotrón, pues $\triangle t\times180\times1000\approx 24\times2\pi/\omega_c$ . Los ejemplos se ejecutaron bajo dos frecuencias de ciclotrón distintas $\omega_1=1.25$ y $\omega_1=2$ ; la primera corresponde a un estado de resistencia cero y la segunda a un máximo de la magnetorresistencia, de acuerdo a Zudov (1). Las amplitudes de campo eléctrico de microondas son $\epsilon_{x1}=0$ y $\epsilon_{y1}=0.115$ y la fase $\chi$ es cero. Además para todos los ejemplos el número máximo de estados considerados fue $\mu\times\nu$ $=25$ ya que $\mu=5$ y $\nu=5$ . La correspondencia entre las cantidades físicas adimencionales empleadas y las cantidades usadas experimentalmente por (1) son: para $\omega_1=1.25$ y $B=1KG=.1T$ ; $E_0=0.115 \rightarrow E_0=241.32V/m$ , $\omega_0=0.0000001 \rightarrow \omega_0=4116.52Hz$ , $\epsilon_{x1}=0 \rightarrow \epsilon_{x1}=0V/m$ , $\epsilon_{y1}=0.115 \rightarrow \epsilon_{y1}=241.32V/m$ y $\omega_1=1.25 \rightarrow \omega_1=.514\times10^{11}Hz$ , mientras que para $\omega_2=2$ y $B=0.7KG=.07T$ ; se tiene $E_0=0.115 \rightarrow E_0=141.33V/m$ , $\omega_0=0.0000001 \rightarrow \omega_0=2881.58Hz$ , $\epsilon_{x1}=0 \rightarrow \epsilon_{x1}=0V/m$ , $\epsilon_{y1}=0.115 \rightarrow \epsilon_{y1}=141.33V/m$ y $\omega_1=2 \rightarrow \omega_1=.576\times10^{11}Hz$ .
En la figura puede verse el movimiento de la posición promedio del paquete de ondas en ausencia de impurezas y microondas. Se observa el movimiento de deriva en dirección perpendicular al campo eléctrico, tal como lo predice la mecánica clásica.

Figura: Posición promedio $(x,y)$ de un paquete de ondas en ausencia de impurezas y microondas.

En la gráfica se tiene la entropía de Shannon y la posición promedio de un paquete de ondas sin radiación de microondas. En (a), puede verse la entropía de Shannon como función del tiempo, para un paquete de ondas en presencia de 100 impurezas con potencial de $0.2$ colocadas aleatoriamente en una región de $L \times L$ con $L=9\ell_0$ , que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_1=1.87\times10^{14}impurezas/m^{2}$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_2=1.31$ x $10^{14}impurezas/m^{2}$ para $\omega_2=2$ . Recordar que $\ell_0$ es función del campo magnético. La gráfica (b) muestra el movimiento de la posición promedio del paquete. En (a) la entropía se satura para tiempos largos lo que coincide con la gran aleatoriedad de la trayectoria media del paquete de ondas. Un comportamiento muy similar se observa cuando se introduce radiación de microondas con frecuencia $\omega_1=1.25$ ver figura , y $\omega_1=2$ ver figura .
En la figura se puede observar lo que en , pero con $\omega_1=1.25$ . La densidad de impurezas para generar a es de 100 impurezas en un cuadro de $9\times9$ unidades, lo que corresponde a $\rho_1$ . El mismo tratamiento se aplica para generar a la figura , pero con $\omega_1=2$ , que le corresponde como densidad de impurezas a $\rho_2$ .

Figura: Gráficas sin radiación externa. Densidad de impurezas, 100 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_1=1.87$ x $10^{14}m^{-2}$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_2=1.31$ x $10^{14}m^{-2}$ para $\omega_1=2$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráficas con radiación externa, $\omega_1=1.25$ . Densidad de impurezas, 100 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_1=1.87\times10^{14}m^{-2}$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráficas con radiación externa, $\omega_1=2$ . Densidad de impurezas, 100 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_2=1.31$ x $10^{14}m^{-2}$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráfica que muestra una comparación en las entropías de Shannon vs. t, para los distintos valores de $\omega_1$ , notando una diferencia entre la entropía de $\omega_1=0$ y $\omega_1=1.25$ , así como entre $\omega_1=0$ y $\omega_1=2$ .

En la figura se muestra la entropía de Shannon y la posición promedio de un paquete de ondas sin radiación de microondas. En la figura (a) se observa la entropía de Shannon en función del tiempo para un paquete de ondas en presencia de 10 impurezas con potencial de $0.2$ colocadas aleatoriamente en un cuadro de $L$ x$L$ con $L=3\ell_0$ , lo que corresponde a una densidad $\rho_3=1.68\times10^{14}impurezas/m^{2}$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_4=1.18$ x $10^{14}impurezas/m^{2}$ para $\omega_2$ . La figura (b) muestra la trayectoria promedio del paquete, mientras que en la figura se observa la densidad de probabilidad $\left\vert\Psi_{5,5}(x,y,t)\right\vert^2$ en 3D. Mientras que para generar a la figura se aplica $\omega_1=1.25$ y $\rho_3$ en tanto para se utiliza $\omega_1=2$ y $\rho_4$ . Al ver la entropía de (a) y (a) y contrastarlas con las de (a) y (a) respectivamente, notamos que estos dos últimos sistemas son más entrópicos lo que concuerda con que $\rho_3<\rho_1$ y $\rho_4<\rho_2$ . Al hacer un análisis cualitativo entre (a) con (a) y (a) con (a), ver figura , notamos una diferencia entre las entropías, pero al comparar las entropías de (a) con (a) y (a), no observamos una diferencia. Las figuras y muestran la densidad de probabilidad $\left\vert\Psi_{5,5}(x,y,t)\right\vert^2$ en 3D para los casos de la figuras y respectivamente, en distintos instantes $t$ .
Otra prueba interesante es colocar impurezas con potenciales negativos. En la figura , observamos la entropía de Shannon y la trayectoria promedio de un paquete de ondas en ausencia de microondas, y con una densidad de impurezas $\rho_3$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_4$ para $\omega_1=2$ , pero con un valor de potencial de $-0.2$ para cada una. Las figuras y se generaron bajo las mismas condiciones que , pero con $\omega_1=1.25$ y $\rho_3$ , mientras que se calculó con $\omega_1=2$ y $\rho_4$ . Haciendo un análisis cualitativo, se puede observar que (a) muestra una entropía mayor respecto de (a), esto para tiempos $t\in [5,20]$ lo que corresponde a un tiempo $t\in [1.93$ x $10^{-11}s,7.73$ x $10^{-11}s]$ . Un comportamiento similar se observa entre (a) y (a).
Otro punto a notar es que los rizos de (b) y (b) son más pequeños respecto de los de (b) y (b).

Figura: Gráficas sin radiación externa. Densidad de impurezas, 10 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_3=1.68$ x $10^{14}m^{-2}$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_4=1.18$ x $10^{14}m^{-2}$ para $\omega_1=2$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Figura que nos muestra la evolución temporal de $\left\vert\Psi_{5,5}(x,y,t)\right\vert^2$ , con $\omega_1=0$ , campo eléctrico de vias $\vec{E}=E_0\vec{i}$ y campo magnético $\vec{B}=B\vec{k}$ , en un medio con densidad de impurezas $\rho_3$ para $\omega_1=1.25$ , y $\rho_4$ para $\omega_1=2$ .

Figura: Gráficas con radiación externa $\omega_1=1.25$ . Densidad de impurezas, 10 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_3=1.68$ x $10^{14}m^{-2}$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráficas con radiación externa $\omega_1=2$ . Densidad de impurezas,10 impurezas en 9 unidades cuadradas con potencial repulsivo de $0.2$ , lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_4=1.18$ x $10^{14}m^{-2}$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Figura que nos muestra la evolución temporal de $\left\vert\Psi_{5,5}(x,y,t)\right\vert^2$ , con $\omega_1=1.25$ , campo eléctrico de vias $\vec{E}=E_0\vec{i}$ y campo magnético $\vec{B}=B\vec{k}$ , en un medio con densidad de impurezas $\rho_3$ .

Figura: Figura que nos muestra la evolución temporal de $\left\vert\Psi_{5,5}(x,y,t)\right\vert^2$ , con $\omega_1=2$ , campo eléctrico de vias $\vec{E}=E_0\vec{i}$ y campo magnético $\vec{B}=B\vec{k}$ , en un medio con densidad de impurezas $\rho_4$ .

Figura: Gráficas sin radiación externa. Densidad de impurezas, 10 impurezas con potencial atractivo de $-0.2$ en $9$ unidades cuadradas, lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_3$ para $\omega_1=1.25$ y $\rho_4$ para $\omega_1=2$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráficas con radiación externa $\omega_1=1.25$ . Densidad de impurezas, 10 impurezas con potencial atractivo de $-0,2$ en 9 unidades cuadradas, lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_3$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el timempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).

Figura: Gráficas con radiación externa $\omega_1=2$ . Densidad de impurezas,10 impurezas con potencial atractivo de $-0,2$ en 9 unidades cuadradas, lo que corresponde a una densidad de impurezas $\rho_4$ . (a) Entropía de Shanonn $Sh$ en el tiempo $t$ . (b) Trayectoria $(x,y)$ promedio del paquete a lo largo del mismo tiempo $t$ que en (a).