✨ Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ✨

1112016

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer orden de tipo Separable

Introducción

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden en su forma normal: \[ y^\prime=H(x,y) \] donde \(H\) es una función que relaciona a \(x\) e \(y\). Si la función \[{H(x,y)=f(x)\,g(y)},\] entonces se tiene una EDO de primer orden de tipo separable. Es decir, \[ y^\prime=f(x)\,g(y) \]

Método para resolver las EDO de primer orden de tipo separable

Paso 1.
Separar las variables para obtener \[ \frac{y^\prime}{g(y)}=f(x) \]
Paso 2.
Como \(y\) e \(y'\) son funciones de \(x\), integramos con respecto de \(x\) en ambos lado de la igualdad, \[ \int\frac{y^\prime}{g(y)}dx=\int f(x)dx \]
Paso 3.
Usamos el cambio de variable en la parte izquierda de la igualdad, es decir, (mediante el cambio \(y'dx=dy\)), \[ \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx \]
Paso 4.
Después de integrar obtenemos la solución general en forma implícita: \[ G(y)=F(x)+C \] donde \(F\) y \(G\) son funciones diferenciables que satisfacen \[\frac{d\,}{d\,y}G(y)=\frac{1}{h(y)}\quad y\quad \frac{d}{d x}F(x)=f(x)\] y \(C\) es la combinación de las constantes de integración de la parte derecha e izquierda.
Paso 5.
Resolver, si es posible, para la variable \(y\) para encontrar la forma explícita de la solución.
Paso 6.
Buscamos soluciones singulares, es decir soluciones \(\phi(x)=k\) donde \(k\in\mathbb{R}\).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria. \[\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x y^{2}}. \quad\quad\quad\tag{1}\]

Solución

Para comenzar, escribamos la EDO en la forma normal: \[ y^\prime = \frac{1}{x y^{2}}.\] Tenemos que \[H(x,y)= \frac{1}{x y^{2}} = \left(\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{y^{2}}\right).\] Por tanto la Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden es de tipo Separable donde


\[
\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x)&=& \displaystyle \frac{1}{x},\\ g(y)&=& \displaystyle \frac{1}{y^{2}}. \end{array}
\]

Ilustremos el método.
Paso 1.
Separamos las variables \[ y^{2} y^\prime = \frac{1}{x}.\]
Paso 2.
Integramos respecto a \(x\) en ambos lados de la igualdad \[ \displaystyle\int y^{2}\,y^\prime\,{d}x = \int \frac{1}{x}\,dx. \]
Paso 3.
Usando el cambio de variable en la parte izquierda de la igualdad (es decir, \(y^\prime\,\mathrm{d}x = \,\mathrm{d}y\)), \[ \int y^{2} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx, \] de donde


\[
\displaystyle \begin{array}{rcl} F(x)&=& \displaystyle \operatorname{ln}\,{\left(x \right)},\\ G(y)&=& \displaystyle \frac{y^{3}}{3}. \end{array}
\]

Paso 4.
La solución general a la Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de tipo Separable (1) es \[ \frac{y^{3}}{3} = \operatorname{ln}\,{\left(x \right)} + C.\]

Ejemplo 2

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria. \[\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}. \quad\quad\quad\tag{2}\]

Solución

Para comenzar, escribamos la EDO en la forma normal: \[ y^\prime = \frac{e^{y}}{x^{2} y}.\] Tenemos que \[H(x,y)= \frac{e^{y}}{x^{2} y} = \left(\frac{1}{x^{2}}\right)\left(\frac{e^{y}}{y}\right).\] Por tanto la Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden es de tipo Separable donde


\[
\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x)&=& \displaystyle \frac{1}{x^{2}},\\ g(y)&=& \displaystyle \frac{e^{y}}{y}. \end{array}
\]

Ilustremos el método.
Paso 1.
Separamos las variables \[ y e^{- y} y^\prime = \frac{1}{x^{2}}.\]
Paso 2.
Integramos respecto a \(x\) en ambos lados de la igualdad \[ \displaystyle\int y e^{- y}\,y^\prime\,{d}x = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx. \]
Paso 3.
Usando el cambio de variable en la parte izquierda de la igualdad (es decir, \(y^\prime\,\mathrm{d}x = \,\mathrm{d}y\)), \[ \int y e^{- y} \, dy = \int \frac{1}{x^{2}} \, dx, \] de donde


\[
\displaystyle \begin{array}{rcl} F(x)&=& \displaystyle - \frac{1}{x},\\ G(y)&=& \displaystyle \left(- y - 1\right) e^{- y}. \end{array}
\]

Paso 4.
La solución general a la Ecuación Diferencial Ordinaria de primer orden de tipo Separable (2) es \[ \left(- y - 1\right) e^{- y} = - \frac{1}{x} + C.\]

Ejercicios

Ejercicio 1

Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria. \[y^\prime = \frac{y}{x} + \frac{1}{x}.\]

Solución

\[\operatorname{ln}\,{\left(y + 1 \right)} = \operatorname{ln}\,{\left(x \right)} + C\] con \(C\in\mathbb{R}\).

Ejercicio 2

Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria. \[y^\prime = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}}.\]

Solución

\[\frac{\operatorname{ln}\,{\left(y^{3} - 1 \right)}}{3} = - \operatorname{ln}\,{\left(x \right)} + C\] con \(C\in\mathbb{R}\).
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