Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer orden de tipo Exacta
Introducción
Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden en su forma normal
\[y^\prime=H(x,y) \quad\quad\quad\tag{1}\]
es de tipo exacta si
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)},\]
donde \(M,N \) son funciones diferenciables que satisfacen la condición:
\[\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y).\]
Es decir,
\[
y^\prime=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}
\]
donde
\[\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y).\]
Método para resolver las EDO de primer orden de tipo exacta
Consideremos que la EDO de primer orden está dada en su forma normal (1).
Paso 1.
Identificamos
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)},\]
y comprobamos que la EDO (1) satisfaga
\[\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y), \quad\quad\quad\tag{2}\]
por lo que la EDO (1) es de tipo exacta. Si la igualdad no se cumple buscamos otro método.
Paso 2.
Buscamos una solución general dada en forma impícita
\[F(x,y)=C\]
donde \(C\in\mathbb R\) es constante que satisfaga:
\[\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=M(x,y) \quad\quad\quad\tag{3}\]
y
\[\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=N(x,y). \quad\quad\quad\tag{4}\]
Paso 3.
De integrar con respecto a \(x\) la ecuación (3), proponemos
\[
F(x,y)=\int M(x,y)\,d x =R(x,y)+h(y)
\]
donde \(h(y)\) es una función por determinar.
Paso 4.
Hallamos la función \(h(y)\) tomando en cuenta la ecuación (4). Es decir,
\[h^\prime(y) = N(x,y)-\frac{\partial R}{\partial y}(x,y).\]
Paso 5.
Finalmente, escribimos la familia de funciones que son solución en forma implícita
\[F(x,y)=C\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 9
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[\frac{dy}{d x} = \frac{4 x^{3} + 2 x y + y^{2}}{- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}}. \quad\quad\quad\tag{5}\]
Solución
La EDO (5) ya se encuentra en su forma normal:
\[y^\prime = \frac{4 x^{3} + 2 x y + y^{2}}{- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}}.\]
Tenemos que
\[H(x,y)= \frac{4 x^{3} + 2 x y + y^{2}}{- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}}.\]
Paso 1.
Identificamos
\[ \displaystyle \displaystyle H(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{- (4 x^{3} + 2 x y + y^{2})}{- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}}, \]
de donde al elegir
\begin{align*}
M(x,y)&=- (4 x^{3} + 2 x y + y^{2}),\\
N(x,y)&=- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3};\\
\end{align*}
comprobamos que la EDO (5) satisface
\[\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=- 2 x - 2 y=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y), \quad\quad\quad\tag{6}\]
que implica que se cumple la condición para queque la EDO (5) es de tipo exacta.
Paso 2.
Buscamos una solución general dada en forma impícita
\[F(x,y)=C\]
donde \(C\in\mathbb R\) es constante que satisfaga:
\[\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=- (4 x^{3} + 2 x y + y^{2}) \quad\quad\quad\tag{7}\]
y
\[\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}. \quad\quad\quad\tag{8}\]
Paso 3.
De integrar con respecto a \(x\) la ecuación (7), proponemos
\[
F(x,y)=\int \left(- (4 x^{3} + 2 x y + y^{2})\right)\,d x =- x^{4} - x^{2} y - x y^{2}+h(y)
\]
donde \(h(y)\) es una función por determinar.
Paso 4.
Hallamos la función \(h(y)\) tomando en cuenta la ecuación (8). Es decir,
\begin{align*}
h^\prime(y) &= N(x,y)-\frac{\partial R}{\partial y}(x,y)\\
&=\left(- x^{2} - 2 x y + 4 y^{3}\right)-\left(4 y^{3}\right)\\
&=4 y^{3}.
\end{align*}
Es decir,
\[h(y)=y^{4}.\]
Paso 5.
Entonces se tiene que
\[F(x,y)=- x^{4} - x^{2} y - x y^{2}+h(y)=- x^{4} - x^{2} y - x y^{2} + y^{4}+C_{1}\]
con \(C_{1}\in\mathbb R\).
Finalmente, escribimos la familia de funciones solución de la EDO de primer orden de tipo exacta (5)
\[- x^{4} - x^{2} y - x y^{2} + y^{4} = C\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Ejemplo 10
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[\frac{dy}{d x} = \frac{5 x + 8 y}{- 8 x + 3 y}. \quad\quad\quad\tag{9}\]
Solución
La EDO (9) ya se encuentra en su forma normal:
\[y^\prime = \frac{5 x + 8 y}{- 8 x + 3 y}.\]
Tenemos que
\[H(x,y)= \frac{5 x + 8 y}{- 8 x + 3 y}.\]
Paso 1.
Identificamos
\[ \displaystyle \displaystyle H(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=-\frac{- (5 x + 8 y)}{- 8 x + 3 y}, \]
de donde al elegir
\begin{align*}
M(x,y)&=- (5 x + 8 y),\\
N(x,y)&=- 8 x + 3 y;\\
\end{align*}
comprobamos que la EDO (9) satisface
\[\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)=-8=\frac{\partial N}{\partial x}(x,y), \quad\quad\quad\tag{10}\]
que implica que se cumple la condición para queque la EDO (9) es de tipo exacta.
Paso 2.
Buscamos una solución general dada en forma impícita
\[F(x,y)=C\]
donde \(C\in\mathbb R\) es constante que satisfaga:
\[\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=- (5 x + 8 y) \quad\quad\quad\tag{11}\]
y
\[\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=- 8 x + 3 y. \quad\quad\quad\tag{12}\]
Paso 3.
De integrar con respecto a \(x\) la ecuación (11), proponemos
\[
F(x,y)=\int \left(- (5 x + 8 y)\right)\,d x =- \frac{5 x^{2}}{2} - 8 x y+h(y)
\]
donde \(h(y)\) es una función por determinar.
Paso 4.
Hallamos la función \(h(y)\) tomando en cuenta la ecuación (12). Es decir,
\begin{align*}
h^\prime(y) &= N(x,y)-\frac{\partial R}{\partial y}(x,y)\\
&=\left(- 8 x + 3 y\right)-\left(3 y\right)\\
&=3 y.
\end{align*}
Es decir,
\[h(y)=\frac{3 y^{2}}{2}.\]
Paso 5.
Entonces se tiene que
\[F(x,y)=- \frac{5 x^{2}}{2} - 8 x y+h(y)=- \frac{5 x^{2}}{2} - 8 x y + \frac{3 y^{2}}{2}+C_{1}\]
con \(C_{1}\in\mathbb R\).
Finalmente, escribimos la familia de funciones solución de la EDO de primer orden de tipo exacta (9)
\[- \frac{5 x^{2}}{2} - 8 x y + \frac{3 y^{2}}{2} = C\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Ejercicios
Ejercicio 9
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{- 2 x^{3} y^{2} + y}{x^{4} y - x}.\]
Solución
\[\frac{x^{4} y^{2}}{2} - x y = C \]
con \(C\in\mathbb{R}\).
Ejercicio 10
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{- x - y \operatorname{ln}\,{\left(x \right)}}{x \operatorname{ln}\,{\left(x \right)} - x}.\]
Solución
\[\frac{x^{2}}{2} + x y \operatorname{ln}\,{\left(x \right)} - x y = C \]
con \(C\in\mathbb{R}\).