Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden que se reducen a una de tipo Exacta
Introducción
Una EDO de primer orden en forma normal
\[
y^\prime=H(x,y)
\]
se dice que se reduce a exacta mediante un factor integrante si
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)},\]
donde \(M,N \) son funciones diferenciables tales que
\(\displaystyle\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\). Es decir,
\[
y^\prime=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}
\]
donde
\[\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\neq\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}.\]
Método para resolver una EDO de primer orden que se reduce a una de tipo exacta
Consideremos la EDO de primer orden:
\[y^\prime=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \quad\quad\quad\tag{1}\]
Paso 1.
Se identifican las funciones \(M(x,y)\) y \(N(x,y)\) en la expresion de \(H(x,y)\), considerando que que
es una EDO de tipo exacta.
Algunos factores integrantes pueden encontrarse mediante las siguientes recetas:
Si \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\partial}{\partial y} M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x} N(x,y)}{N(x,y)}=h(x)\)
entonces \(\mu(x,y)=\mu(x)=\displaystyle e^{\int h(x)\mathrm{d}\, x}.\)
Si \(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\partial }{\partial x} N(x,y)-\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}M(x,y)}{M(x,y)}=h(y)\)
entonces \(\mu(x,y)=\mu(y)=\displaystyle e^{\int h(y)\mathrm{d}\, y}.\)
Si existen números \(m\) y \(n\) de manera que se cumple
\(\displaystyle \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=m\frac{N(x,y)}{x}-n\frac{M(x,y)}{y}\),
entonces \(\mu(x,y)=x^my^n\).
Si existen funciones \(P(x)\) y \(Q(y)\) que satisfacen
\(\displaystyle \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=P(x){N(x,y)}-Q(y)M(x,y)\),
se propone \(\mu(x,y)=\displaystyle e^{\int P(x)\mathrm{d}\, x}\displaystyle e^{\int Q(y)\mathrm{d}\,y}\).
Paso 3.
Una vez hallado el factor integrante \(\mu(x,y)\) se resuelve la ecuación exacta
usando el método para EDO de primer orden de tipo Exactas (véase [EDOExacta]).
Paso 4.
Se escribe la solución general de la EDO de primer orden (1).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 3
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[y^\prime = \frac{- x^{3} y - 3 x^{2} y - 5 y^{2}}{x^{3} + 10 y}. \quad\quad\quad\tag{2}\]
Solución
La EDO (2) ya se encuentra en su forma normal:
\[ y^\prime = \frac{- x^{3} y - 3 x^{2} y - 5 y^{2}}{x^{3} + 10 y} .\]
Tenemos que
\[ H(x,y) = \frac{- x^{3} y - 3 x^{2} y - 5 y^{2}}{x^{3} + 10 y} .\]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{x^{3} y + 3 x^{2} y + 5 y^{2}}{x^{3} + 10 y},\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(\displaystyle M(x,y)=x^{3} y + 3 x^{2} y + 5 y^{2}\) y \(\displaystyle N(x,y)=x^{3} + 10 y\).
Notemos que
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=e^{x}.\]
Elegimos \(\mu(x)=e^{x}\) y resolvemos
\[y^\prime =-\frac{\displaystyle x^{3} y e^{x} + 3 x^{2} y e^{x} + 5 y^{2} e^{x}}{\displaystyle x^{3} e^{x} + 10 y e^{x}} \quad\quad\quad\tag{3}\]
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta (3), tenemos que
\begin{align*}
F(x,y)&= \left(x^{3} y + 5 y^{2}\right) e^{x}.
\end{align*}
Paso 4.
Escribimos la solución general de la EDO (3) que a su vez es también solución de la EDO (2):
\[\left(x^{3} y + 5 y^{2}\right) e^{x} = C.\]
Ejemplo 4
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[y^\prime = - \frac{x^{2} y^{2}}{x^{3} y + y + 3}. \quad\quad\quad\tag{4}\]
Solución
La EDO (4) ya se encuentra en su forma normal:
\[ y^\prime = - \frac{x^{2} y^{2}}{x^{3} y + y + 3} .\]
Tenemos que
\[ H(x,y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{x^{3} y + y + 3} .\]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{x^{2} y^{2}}{x^{3} y + y + 3},\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(\displaystyle M(x,y)=x^{2} y^{2}\) y \(\displaystyle N(x,y)=x^{3} y + y + 3\).
Notemos que
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=y.\]
Elegimos \(\mu(x)=y\) y resolvemos
\[y^\prime =-\frac{\displaystyle x^{2} y^{3}}{\displaystyle x^{3} y^{2} + y^{2} + 3 y} \quad\quad\quad\tag{5}\]
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta (5), tenemos que
\begin{align*}
F(x,y)&= \frac{x^{3} y^{3}}{3} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{3 y^{2}}{2}.
\end{align*}
Paso 4.
Escribimos la solución general de la EDO (5) que a su vez es también solución de la EDO (4):
\[\frac{x^{3} y^{3}}{3} + \frac{y^{3}}{3} + \frac{3 y^{2}}{2} = C.\]
Ejercicios
Ejercicio 3
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{- 3 x y - 2 \operatorname{cos}\,{\left(y \right)}}{x^{2} - x \operatorname{sen}\,{\left(y \right)}}.\]
Solución
\[2 x^{5} \operatorname{cos}\,{\left(y \right)} + x^{3} y + x^{2} \operatorname{cos}\,{\left(y \right)} = C \]
con \(C\in\mathbb{R}\).
Ejercicio 4
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{- 3 x^{2} y - y^{2}}{- x^{3} + y^{2}}.\]
Solución
\[\frac{x^{3}}{y} + x + y = C \]
con \(C\in\mathbb{R}\).