Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer orden de tipo Lineal
Introducción
Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden en su forma normal
\[y^\prime=H(x,y) \quad\quad\quad\tag{1}\]
es de tipo lineal si
\[\displaystyle H(x,y)=-p(x)y-q(x),\]
donde \(p\) y \(q \) son funciones diferenciables
Es decir,
\[y^\prime=-p(x)y-q(x). \quad\quad\quad\tag{2}\]
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{p(x)y+q(x)}{1}.\]
Al elegir
\begin{align*}
M(x,y)&=p(x)y+q(x),\\
N(x,y)&=1;\\
\end{align*}
notamos que
\[
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)\neq\frac{\partial N}{\partial x}(x,y),
\]
por lo que la EDO (1) no es de tipo exacta.
Sin embargo, podemos elegir un factor integrante respecto a \(x\) (véase [chap:EDOFI]) dado que:
\[
\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\partial}{\partial y} M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x} N(x,y)}{N(x,y)}=\frac{p(x)}{1}=p(x)
\]
y por tanto,
\[ \displaystyle \mu(x)=e^{\int p(x)\, dx}. \]
Finalmente procedemos utilizando el método para resolver EDO de primer orden que se reducen a exactas mediante un factor integrante.
Método para resolver las EDO de primer orden de tipo lineal
Consideremos que la EDO de primer orden está dada en su forma normal (1).
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-p(x)y-q(x),\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(p(x)\) y \(q(x)\).
Paso 2.
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=e^{\int p(x)\, dx}.\]
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\[
F(x,y)=\int \mu(x)\,M(x,y)\,d x =\int \mu(x)\,(p(x)y +q(x))\,d x+h(y)
\]
donde \(h(y)\) es una función por determinar. Notamos que la función \(h(y)\) tomando en cuenta la condición para que la EDO sea exacta. Es decir,
\[h^\prime(y) = \mu(x)N(x,y)-\frac{\partial R}{\partial y}(x,y)=0.\]
Por lo que \(h(y)=C_{1}\).
Paso 4.
Escribimos la familia de funciones que son solución en forma implícita
\[F(x,y)=C;\]
que en este caso queda como:
\[
y\mu(x)+\int \mu(x)\,q(x)\, dx=C,
\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo lineal (2) puede expresarse como una familia de funciones explícitas como:
\[
y(x)= -\frac{\displaystyle \int \mu(x)\,q(x)\, dx}{\mu(x)}+\frac{C}{\mu(x)}.
\]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 7
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[y^\prime = 2 y + 1. \quad\quad\quad\tag{3}\]
Solución
La EDO (3) ya se encuentra en su forma normal:
\[ \displaystyle y^\prime = 2 y + 1 . \]
Tenemos que
\[ \displaystyle H(x,y) = 2 y + 1 . \]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)= -\left(- 2 y - 1\right) =-\left(\left( -2 \right)y+\left( -1 \right)\right),\]
y en consecuencia identificamos las funciones \( \displaystyle p(x) = -2 \) y \(\displaystyle q(x) = -1 \).
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\[
F(x,y) = \int \mu(x)\,M(x,y)\,d x = \frac{\left(2 y + 1\right) e^{- 2 x}}{2} + h(y)
\]
Aquí, tenemos que \(h(y)=C_{2}\)
Paso 4.
Escribimos la familia de funciones que son solución en forma implícita
\[ \frac{\left(2 y + 1\right) e^{- 2 x}}{2} = C.\]
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo lineal (3) puede expresarse como una familia de funciones explícitas como:
\[
y = C e^{2 x} - \frac{1}{2} .
\]
Ejemplo 8
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[y^\prime = x + \frac{y}{x}. \quad\quad\quad\tag{4}\]
Solución
La EDO (4) ya se encuentra en su forma normal:
\[ \displaystyle y^\prime = x + \frac{y}{x} . \]
Tenemos que
\[ \displaystyle H(x,y) = x + \frac{y}{x} . \]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)= -\left(- x - \frac{y}{x}\right) =-\left(\left( - \frac{1}{x} \right)y+\left( - x \right)\right),\]
y en consecuencia identificamos las funciones \( \displaystyle p(x) = - \frac{1}{x} \) y \(\displaystyle q(x) = - x \).
Paso 2.
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=e^{\int p(x)\, dx} = \frac{1}{x} + C_{1}.\]
Elegimos \(\displaystyle \mu(x) = \frac{1}{x} \).
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\[
F(x,y) = \int \mu(x)\,M(x,y)\,d x = - x + \frac{y}{x} + h(y)
\]
Aquí, tenemos que \(h(y)=C_{2}\)
Paso 4.
Escribimos la familia de funciones que son solución en forma implícita
\[ - x + \frac{y}{x} = C.\]
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo lineal (4) puede expresarse como una familia de funciones explícitas como:
\[
y = C x + x^{2} .
\]
Ejercicios
Ejercicio 7
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = y + 2.\]
Solución
\[y = C e^{x} - 2 \]
con \(C\in\mathbb{R}\).
Ejercicio 8
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = x + y.\]