Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer orden de tipo Bernoulli
Introducción
onsideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Primer Orden en su forma normal
\[y^\prime=H(x,y) \quad\quad\quad\tag{1}\]
es de tipo Bernoulli si
donde \(p\) y \(q \) son funciones diferenciables y \(n\) es un número real diferente de \(0 \) y \(1\).
Es decir,
\[y^\prime=-p(x)y-q(x)y^n. \quad\quad\quad\tag{2}\]
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\frac{p(x)y+q(x)y^n}{1}.\]
Al elegir
\begin{align*}
M(x,y)&=p(x)y^{1-n}+q(x),\\
N(x,y)&=y^{-n};\\
\end{align*}
notamos que
\[
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y)\neq\frac{\partial N}{\partial x}(x,y),
\]
por lo que la EDO (1) no es de tipo exacta.
Sin embargo, podemos elegir un factor integrante respecto a \(x\) (véase [chap:EDOFI]) dado que:
\[
\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\partial}{\partial y} M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x} N(x,y)}{N(x,y)}=\frac{(1-n)p(x)y^{-n}}{y^{-n}}=(1-n)p(x),
\]
y por tanto,
\[\mu(x)=e^{\int (1-n)p(x)\, dx}.\]
Finalmente procedemos utilizando el método para resolver EDO de primer orden que se reducen a exactas mediante un factor integrante.
Método para resolver las EDO de primer orden de tipo lineal
Consideremos que la EDO de primer orden está dada en su forma normal (1).
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-p(x)y-q(x)y^n,\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(p(x)\) y \(q(x)\), y el número \(n\).
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\begin{align*}
F(x,y)&=\int \mu(x)\,(p(x)y^{1-n}+q(x))\,d x+h(y)\\
&=\int \mu(x)\,p(x)y^{1-n}\,dx+\int \mu(x)\,q(x)\,d x+h(y)\\
&=\frac{y^{1-n}}{1-n}\mu(x)+\int \mu(x)\,q(x)\,d x+h(y)
\end{align*}
donde \(h(y)\) es una función por determinar. En este caso, tomando en cuenta la condición para que la EDO sea exacta, se tiene que
\[h^\prime(y) = \mu(x)N(x,y)-\frac{\partial R}{\partial y}(x,y)=0.\]
Por lo que \(h(y)=C_{1}\).
Paso 4.
Calculamos
\[\int \mu(x)\,q(x)\,d x\]
y escribimos la familia de funciones que son solución en forma implícita
\[F(x,y)=C_{2};\]
que en este caso queda como:
\[\frac{y^{1-n}}{1-n}\mu(x)+\int \mu(x)\,q(x)\, dx=C_{2},\]
donde \(C_{2}\in\mathbb R\).
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo Bernoulli (2) puede expresarse como una familia de funciones como:
\[
y^{1-n}(x)= -\frac{1}{1-n}\frac{\displaystyle \int \mu(x)\,q(x)\, dx}{\mu(x)}+\frac{C}{\mu(x)},
\]
donde \(C\in\mathbb R\).
La EDO (3) ya se encuentra en su forma normal:
\[ y^\prime = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}} .\]
Tenemos que
\[ H(x,y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}} .\]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\left(\frac{y}{x} - \frac{1}{x y^{2}}\right),\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(\displaystyle p(x)=\frac{1}{x}\) y \(\displaystyle q(x)=- \frac{1}{x}\), y el número \(\displaystyle n=-2\).
Paso 2.
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=e^{\int \left(1-\left(-2\right)\right)\left(\frac{1}{x}\right)\, dx} =e^{C + 3 \operatorname{ln}\,{\left(x \right)}}=x^{3} e^{C}.\]
Elegimos \(\mu(x)=x^{3}\).
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\begin{align*}
F(x,y)&=\int \mu(x)\,(p(x)y^{1-n}+q(x))\,d x+h(y)\\
&=\frac{y^{3}}{3}\left(x^{3}\right)+\int \mu(x)\,q(x)\,d x+C_{1}.
\end{align*}
y escribimos la solución general como:
\[\frac{y^{3}}{3}\left(x^{3}\right)+- \frac{x^{3}}{3}=C_{3},\]
donde \(C_{2},C_{3}\in\mathbb R\).
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo Bernoulli (3) puede expresarse como una familia de funciones como:
\[
y^{3}(x)= -\frac{1}{3}\frac{- \frac{x^{3}}{3}}{x^{3}}+\frac{C}{x^{3}},
\]
o bien,
\[
y^{3}(x)=\frac{C}{x^{3}} + \frac{1}{9},
\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Ejemplo 6
Resolver la ecuación diferencial ordinaria
\[y^\prime = y^{2} e^{x} + y. \quad\quad\quad\tag{4}\]
Solución
La EDO (4) ya se encuentra en su forma normal:
\[ y^\prime = y^{2} e^{x} + y .\]
Tenemos que
\[ H(x,y) = y^{2} e^{x} + y .\]
Paso 1.
Escribimos
\[\displaystyle H(x,y)=-\left(- y^{2} e^{x} - y\right),\]
y en consecuencia identificamos las funciones \(\displaystyle p(x)=-1\) y \(\displaystyle q(x)=- e^{x}\), y el número \(\displaystyle n=2\).
Paso 2.
Calculamos la el factor integrante
\[\mu(x)=e^{\int \left(1-\left(2\right)\right)\left(-1\right)\, dx} =e^{C + x}=e^{C + x}.\]
Elegimos \(\mu(x)=e^{x}\).
Paso 3.
Siguiendo el método para resolver EDO de primer orden de tipo exacta, proponemos
\begin{align*}
F(x,y)&=\int \mu(x)\,(p(x)y^{1-n}+q(x))\,d x+h(y)\\
&=\frac{y^{-1}}{-1}\left(e^{x}\right)+\int \mu(x)\,q(x)\,d x+C_{1}.
\end{align*}
y escribimos la solución general como:
\[\frac{y^{-1}}{-1}\left(e^{x}\right)+- \frac{e^{2 x}}{2}=C_{3},\]
donde \(C_{2},C_{3}\in\mathbb R\).
Paso 5.
Finalmente, se tiene que la solución general de la EDO de primer orden de tipo Bernoulli (4) puede expresarse como una familia de funciones como:
\[
y^{-1}(x)= -\frac{1}{-1}\frac{- \frac{e^{2 x}}{2}}{e^{x}}+\frac{C}{e^{x}},
\]
o bien,
\[
y^{-1}(x)=C e^{- x} - \frac{e^{x}}{2},
\]
donde \(C\in\mathbb R\).
Ejercicios
Ejercicio 5
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = x y^{4} - y.\]
Solución
\[y^{-3}=C e^{3 x} + \frac{x}{9} + \frac{1}{27} \]
con \(C\in\mathbb{R}\).
Ejercicio 6
Clasifique y resuelva la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria.
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}}.\]
Solución
\[y^{-1}=\frac{C - \operatorname{ln}\,{\left(x \right)}}{x} \]
con \(C\in\mathbb{R}\).