XXVII

Jornadas de Análisis Matemático y sus Aplicaciones.

Del 8 al 12 de Noviembre del 2021.

Presentación.

El objetivo de las Jornadas de Análisis Matemático y sus Aplicaciones es dar a conocer el trabajo de investigación que realiza el personal académico del Departamento de Ciencias Básicas de la UAM-Azcapotzalco, en general, y del Área de Análisis Matemático y sus Aplicaciones en particular, así como también instituciones de Investigación y Educación Superior para fomentar el trabajo en equipo, interinstitucional y multidisciplinario entre los miembros de las mismas, y así fomentar el trabajo, la educación y la investigación de primer nivel en el país, por lo que profesores de estas instituciones reconocidas son invitados a participar también en nuestras Jornadas.

Comité organizador

Conferencias.

Lunes 08 de noviembre de 13:00 a 15:00 hrs.

Señales electroencefalográficas y ritmos cerebrales; Análisis de Fourier, funciones de banda limitada y localización en tiempo-frecuencia: un nuevo enfoque.

El análisis de señales electroencefalográficas (EEG) está basado en el concepto de ritmos cerebrales, asociados a rangos de frecuencias. Esto se suele modelizar matemáticamente usando funciones de banda limitada y otros conceptos similares. Sin embargo, en relación a señales generales más allá de funciones sinusoidales puras, de forma intrínseca el concepto de frecuencia parece ser más complejo de lo que usualmente se supone. Además, en el marco del Análisis de Fourier (disciplina dominante en las aplicaciones del procesamiento de señales), éste está estrechamente ligado a las herramientas matemáticas clásicas (series de Fourier, transformada de Fourier), lo que hace que su interpretación física, como velocidad de oscilación, se enturbie.

En este trabajo se propone un nuevo enfoque que pretende arrojar algo de luz sobre este tema, tratando de aportar a la solución del problema de localización en tiempo-frecuencia de señales. Incidentalmente y de manera colateral, nuestro estudio desembocó en un análisis sobre la propia naturaleza de la transformada de Fourier y las funciones de banda limitada. Los productos de este trabajo son, por un lado, resultados teóricos que ayudan a entender mejor estas herramientas clásicas, y por otro lado el desarrollo de una metodología alternativa para el análisis de señales, en especial de señales bioeléctricas como el EEG.

Trabajo conjunto con Andrés Fraguela Collar, Javier Herrera Vega y Raúl Felipe Sosa.

El operador Hiperbólico de Dirac: Una introducción.

El operador hiperbólico de Dirac es un operador diferencial de primer orden con coeficientes en una álgebra de Clifford con signatura y que factoriza al operador de onda usual. Presentaremos, las propiedades más elementales de la clase de funciones que satisfacen a este operador. Como son: problema de valores iniciales; conjugados; dominio de influencia y energía. El sistema de Maxwell no armónico es el principal ejemplo.

(Trabajo aun en progreso).

Martes 09 de noviembre de 13:00 a 15:00 hrs.

La transformada de Hilbert finita más allá de los espacios $L^p$.

La transformada de Hilbert finita $T$ en $(-1,1)$ se estudió a partir los años 50 del siglo pasado debido a su importancia en la aerodinámica, a través de la "airfoil equation". Actualmente, atrae un interés renovado a causa de sus aplicaciones en la reconstrucción de imágenes.

Trataremos varios problemas:

(a) Hallar fórmulas de inversión de $T$ en espacios más generales que los espacios $L^p$.

(b) Estudiar la posibilidad de extender el operador $T\colon X\to X$ a un dominio mayor, cuando $X$ es un espacio invariante por reordenamientos (espacio Orlicz, de Lorentz,...).

(c) Determinar el espectro detallado del operador $T\colon X\to X$ en espacios más generales que los espacios $L^p$.

Éste es un trabajo conjunto con W.J. Ricker (Alemania) y S. Okada (Australia).

Teoría espectral de gráficas de distancia regular.

La teoría de gráficas tiene diversas aplicaciones como en modelos de trasporte, análisis de redes, redes neuronales, entre otras. Una manera de estudiar el comportamiento de una gráfica es mediante su matriz de adyacencia, la cual trasforma cada vértice en la suma de sus adyacentes. En esta charla trabajaremos con gráficas de distancia regular, cuyos vértices son a los más numerables y generalizaremos el concepto de matriz de adyacencia a los llamados operadores k-distantes. Además mostraremos que la matriz de adyacencia se puede identificar con un operador de Jacobi en cierto espacio de Hilbert.

Miércoles 10 de noviembre de 13:00 a 15:00 hrs.

Límite semiclásico de distribución de autovalores en cúmulos asociados a perturbaciones del problema de Landau.

Mostraremos dos maneras diferentes de obtener el límite semiclásico de la distribución de autovalores en cúmulos asociados a perturbaciones del problema de Landau ( mecánica cuántica de una partícula cargada moviéndose en un plano bajo la influencia de un campo magnético constante transversal). En una de ellas , el resultado involucra integrales de la perturbación a lo largo de rectas en el plano y en la otra a lo largo de las órbitas clásicas para una energía dada inicialmente. Este es trabajo en colaboración con A. Pushnitski y G. Raikov por un lado y con A. Uribe, S. Pérez Esteva y G. Hernández por otro.

Transformaciones super canónicas y Hamiltonianos cuadráticos.

Partiendo de una forma bilineal impar en generadores de superalgebras de Heisenberg se construyen Hamiltonianos cuadráticos dependientes del tiempo para bosones y fermiones. Se estudian las ecuaciones del movimiento introduciendo transformaciones super canónicas y se expresa al operador unitario de evolución temporal en términos de coordenadas canónicas. Se dan ejemplos en dimensiones bajas.

Jueves 11 de noviembre de 13:00 a 15:00 hrs.

La integral de línea en bicomplejos.

El conjunto de números bicomplejos $\mathbb{B}\mathbb{C}$ está definido como $$\mathbb{B}\mathbb{C} :=\{\ z_1 +\mathbf{j} z_2\ :\ z_1,\ z_2 \in \mathbb{C}(\mathbf{i}),\ \mathbf{j}^2=-1\},$$ donde la suma y producto de números bicomplejos sigue las reglas usuales. Se trata de un álgebra con divisores de zeros. En está plática se estudia la definición de integral de líinea bicompleja y como consecuencia se obtienen algunos teoremas tipo Cauchy y Morera. Además se calcula la función conjugada bicompleja de una función armónica bicompleja.

Núcleos polianalíticos homogéneos en la bola unitaria y en el dominio de Siegel.

Esta plática está basada en un trabajo conjunto con Christian Rene Leal Pacheco y Gerardo Ramos Vazquez (https://rdcu.be/czXhn).

En dominios complejos multidimensionales consideramos las funciones polianalíticas de orden total $m$, definidas por las ecuaciones $\overline{D}^\alpha f = 0$ con $\mid\alpha\mid=m$. Demostramos que estas funciones se pueden escribir como polinomios de grado total $< m$ en las variables $\overline{z_1},\ldots,\overline{z_m}$, donde los coeficientes del polinomio son algunas funciones analíticas. Para estas funciones polianalíticas establecemos una propiedad de valor medio (con peso) usando la propiedad reproductora de los polinomios de Jacobi.

Aplicando cambios de variable con peso, calculamos el núcleo reproductor del espacio de funciones polianalíticas de orden total $m$ y cuadrado integrables en la bola unitaria o en el dominio de Siegel.

Nuestro trabajo generaliza varias ideas de Koshelev (1977), Pessoa (2014), Hachaci y Youssfi (2019).

Viernes 12 de noviembre de 13:00 a 15:00 hrs.

Propiedades de aproximación de un Análisis Multirresolucional.

La noción de Análisis Multirresolucional se introdujo como un método general para construir ondículas. Además, nos proporciona unas herramientas para estudiar propiedades de aproximación de espacios invariantes por translaciones y sus dilatados diádicamente en el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$. En esta charla nos centraremos en las definiciones de orden de aproximación y orden de densidad que nos proporciona un análisis multirresolucional. Estas definiciones se deben a de Boor, DeVore y Ron (1994). De hecho, mostraremos una caracterización de las funciones de escala que proporcionan un orden de densidad prefijado. Para ello, debemos explicar el comportamiento de la Transformada de Fourier de la función de escala del análisis multiresolucional en un entorno de origen. Para escribir nuestros resultados, utilizamos la noción clásica de continuidad aproximativa.

Invertibilidad de operadores integrales en espacios atómicos de $L^1$.

Teniendo en mente la solución a problemas de tipo Dirichlet donde el dato en la frontera pertenece a espacios de funciones no continuas, describiremos el uso de operadores integrales y su invertibilidad en dichos espacios. La técnica es adaptable al ambiente de ciertos espacios métricos y al de conjuntos Ahlfors regulares. Se incluyen resultados de trabajos en colaboración con Hugo Ocampo y Rodrigo Malagón.

Cartel del evento.
Programa.
Descarga el programa en PDF