Tema 2.
Resumen para el Tema 2.
\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\section*{Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden (parte I)}
\section{Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden}\label{eq:gen}
\emph{ Forma general de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Segundo Orden}:
$$
F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime})=0
$$
donde $F$ es una función que relaciona las variables $x$, $y$, $y^{\prime}$ e $y^{\prime\prime}$.\\
\emph{ Forma normal de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Segundo Orden}\label{eq:nor}:
$$
y^{\prime\prime}=f(x,y,y^{\prime})
$$
donde $f$ es una función que relaciona las variables $x$, $y$ e $y^{\prime}$.\\
\emph{Teorema:}
Toda ecuación diferencial ordinaria de segundo orden en forma normal puede escribirse en la forma general.\\
\emph{ Solución de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden}: Una función diferenciable $\varphi(x)$ que satisface
$$F(x,\varphi(x),\varphi^{\prime}(x),\varphi^{\prime\prime}(x))=0$$
se dice \emph{solución de la EDO (\ref{eq:gen})}. Similarmente, una función diferenciable $\varphi(x)$ que satisface
$$\varphi^{\prime\prime}(x)=f(x,\varphi(x),\varphi^{\prime}(x))$$
se llama \emph{solución de la EDO (\ref{eq:nor})}.\\
\emph{ Problema de valor inicial para la forma general de una EDO de Segundo Orden}:
$$
\begin{cases}
F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0,\\
y(x_0)=y_0, \\
y^{\prime}(x_0)=y^{\prime}_0.
\end{cases}
$$
donde $y_0$ e $y^{\prime}_0$ son números dados.\\
Una \emph{solución del problema de valores iniciales} es una solución $\varphi$ deforma general de una EDO de Segundo Orden que satisface las condiciones iniciales. Es decir, $\varphi(x_0)=y_0$ y $\varphi'(x_0)=y'_0$.\\
\emph{ Problema de valor inicial para la forma normal de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Segundo Orden}:
$$
\begin{cases}
y^{\prime\prime}=f(x,y,y^{\prime}),\\
y(x_0)=y_0, \\
y^{\prime}(x_0)=y^{\prime}_0.
\end{cases}
$$
donde $y_0$ e $y^{\prime}_0$ son números dados.\\
Una \emph{solución del problema de valores iniciales} es una solución $\varphi$ deforma normal de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de Segundo Orden que satisface las condiciones iniciales, i. e., $\varphi(x_0)=y_0$ y $\varphi^{\prime}(x_0)=y^{\prime}_0$.
\section{Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Segundo Orden en Forma General}\label{eq:nor1}
Una \emph{EDO de segundo orden en forma general} tiene la forma:
$$
F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0,
$$
donde $F$ es una función que relaciona a $x$ e $y$, y la primera y segunda derivada de $y$.\\
Trataremos algunos casos.
\subsection{EDO de segundo orden de tipo lineal}\label{sec:sep}\label{eq:lin2}
Si en la EDO $F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=0$, la función $$F(x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime})=y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y+r(x),$$
se tiene una \emph{EDO de segundo orden de tipo \emph{lineal}}.\\
Es decir,
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y+r(x)=0
$$
donde $p(x)$, $q(x)$ y $r(x)$ son funciones conocidas. La EDO de segundo orden de tipo \emph{lineal} se dice \emph{no homogénea} si $r(x)$ no es idénticamente la función cero, y \emph{homogénea} si $r(x)=0$ para todo $x$, es decir, la ecuación
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0
$$
es una EDO de segundo orden de tipo {lineal} y homogénea.
\subsection{EDO de segundo orden de tipo lineal y homogénea con coeficientes constantes}\label{eq:lin2hc2}
Consideremos la EDO de segundo orden de tipo lineal y homogénea
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0
$$
donde las funciones $p(x)$ y $q(x)$ son constantes. Es decir, se tiene una EDO de segundo orden lineal homogénea con \emph{coeficientes constantes} dada por
$$
y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0
$$
$p$ y $q$ son números conocidos.
\subsubsection{Método para resolver una EDO de segundo orden lineal y homogénea con \emph{coeficientes constantes}}
\begin{enumerate}
\item Se proponen soluciones del tipo $y(x)=e^{\lambda x}$ y se sustituyen en la EDO
$$
y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0
$$
para obtener la ecuación \emph{ecuación característica} o \emph{ecuación auxiliar}:\label{eq:car}
$$\label{eq:car}
\lambda^2+p\lambda+q=0.
$$
\item Las soluciones de la ecuación característica son
$$
\lambda_1=\frac{-p-\sqrt{\Delta}}{2}
$$
$$
\lambda_2=\frac{-p+\sqrt{\Delta}}{2}
$$
donde $\Delta=p^2-4q$.
\begin{itemize}
\item Si $ \Delta>0$, entonces $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son reales y $\lambda_1\neq\lambda_2$. Además, el conjunto $\{e^{\lambda_1 x},e^{\lambda_2 x}\}$ forma un sistema fundamental de soluciones para la EDO de segundo orden lineal y homogénea con \emph{coeficientes constantes} y cuya solución general de la EDO es:
$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x},$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes.
\item Si $ \Delta=0$, entonces $\lambda_1=\lambda_2=-\frac{p}{2}$ son reales. El conjunto $\{e^{\lambda_1 x},xe^{\lambda_1 x}\}$ forma un sistema fundamental de soluciones para la EDO de segundo orden lineal y homogénea con \emph{coeficientes constantes} y cuya solución general de la EDO es:
$$y(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2xe^{\lambda_1 x},$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes.
\item Si $ \Delta<0$, entonces $\lambda_1=\alpha+i\beta$ y $\lambda_2=\alpha-i\beta$ (i. e. son números complejos).
El conjunto $\{e^{\alpha x}\cos(\beta x),e^{\alpha x}\mathrm{sen}(\beta x)\}$ forma un sistema fundamental de soluciones para la EDO de segundo orden lineal y homogénea con \emph{coeficientes constantes} y cuya solución general de la EDO es:
$$y(x)=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\mathrm{sen}(\beta x)$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\fbox{\href{https://youtu.be/ycoauRtQhQU}{Video}}\\
\fbox{\href{https://youtu.be/NO-Dq0kBNM0}{Ejemplo resuelto 1}}\\
\fbox{\href{https://youtu.be/hO7q-avonGo}{Ejemplo resuelto 2}}\\
\fbox{\href{https://youtu.be/xKFmTkvZVbA}{Ejemplo resuelto 3}}\\
%\fbox{\href{}{Ejemplo resuelto 4}}\\
%\fbox{\href{}{Ejemplo resuelto 5}}
\subsection{EDO de segundo orden homogéneas a las que se les puede reducir el orden}\label{sec:hoy}\label{eq:lin2hr}
Si en la EDO
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y+r(x)=0,
$$
las funciones $q(x)$ y $r(x)$ son funciones constantes idénticamente cero, se obtiene tiene una \emph{EDO de segundo orden lineal homogénea a la que se puede \emph{reducir el orden}}. Es decir,
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}=0,
$$
donde $p(x)$ es una función conocida.
\subsubsection{Método para resolver EDO de segundo orden lineales homogéneas a la que se le puede \emph{reducir el orden}}
\begin{enumerate}
\item Se hace el cambio de variable $y^{\prime}=u$ que reduce la EDO
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}=0,
$$
en la EDO de primer orden separable \label{eq:Red}
$$
u^{\prime}=-p(x)u.
$$
\item Se resuelve la EDO
$$
u^{\prime}=-p(x)u,
$$
y la solución $u(x)=y^{\prime}(x)$ se integra para obtener la solución general $y(x)$.
\end{enumerate}
%%%
\subsection{EDO de segundo orden lineales homogéneas para las cuales se conoce una solución}\label{eq:lin2h}
Consideremos la EDO,
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0
$$
donde las funciones $p(x)$ y $q(x)$ son conocidas. Si se conoce una solución particular $y_1(x)$, entonces el método que presentamos a continuación, nos permite hallar una segunda solución $y_2$ linealmente independiente con $y_1$ y en consecuencia, hallar la solución general.
\subsubsection{Método para resolver EDO de segundo orden lineales homogéneas a la que se le puede \emph{reducir el orden}}
Supongamos que se conoce una solución particular $y_1$ de la EDO
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0.
$$
\begin{enumerate}
\item Se propone una segunda solución de la forma\label{eq:lin2a}
$$
y_2(x)=c(x)\,y_1(x)
$$
donde debe determinarse la función $c(x)$.
\item Se sustituye $y_2$, $y^{\prime}_2=c^{\prime}y_1+cy_1^{\prime}$ y $y_2^{\prime\prime}=c^{\prime\prime}y_1+2c^{\prime}y_1^{\prime}+cy_1^{\prime\prime}$ en la EDO
$$
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0.
$$
y se obtiene la EDO de segundo orden lineal homogénea a la que se le puede \emph{reducir el orden},\label{eq:linredO}
$$
u^{\prime\prime}=-\frac{py_1+2y_1^{\prime}}{y_1}u^{\prime}.
$$
que es una EDO de segundo orden lineal que se le puede reducir el orden.
\item Se resuelve la EDO
$$
u^{\prime\prime}=-\frac{py_1+2y_1^{\prime}}{y_1}u^{\prime}.
$$
usando el método de la sección \ref{sec:hoy} (haciendo el cambio $u=c^{\prime}$ y $u^{\prime}=c^{\prime\prime}$) y se elige una solución no constante $u$.
\item Escribimos la solución general en la forma
$$
y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)
$$
donde $c_1$ y $c_2$ son constantes.
\end{enumerate}
\end{document}