Desigualdades racionales

Una desigualdad racional se puede reducir al tipo $\frac{u}{v}< 0$ donde $u$ y $v$ son expresiones algebraicas (la relación podría ser $\leq$, o también $>$ o $\geq$ y se trataría de manera análoga) se puede resolver aplicando propiedades algebraicas o por puntos de separación que pensamos que es más sencillo. Empezaremos por puntos de separación.

Solución de desigualdades racionales por puntos de separación

Se considera que para que $y=\frac{u}{v}$ cambie de signo debe pasar por cero o por no estar definida.

Así, se resuelve primero $y=\frac{u}{v}=0$, esto es $u=0$ y luego $y=\frac{u}{v}$ no existe, esto es $v=0$.

Con esos puntos se divide el eje real en intervalos en los que se averiguará el signo de $y=\frac{u}{v}$, tomando un valor de prueba cualquiera dentro de cada intervalo y se concluirá que ese signo se conserva en todo ese intervalo.

$Intervalo$	$x_i$	$y=\frac{4-3x}{x+5}$
$(-\infty ,-5)$	$-6$	$\frac{+}{-}=-$ $(\leq0) \;\ast $
$(-5,\frac{4}{3}]$	$0$	$\frac{+}{+}=+$ $(\geq 0)\;\;\;\;$
$[\frac{4}{3},\infty)$	$2$	$\frac{-}{+}=-$ $(\leq0)\; \ast $

Solución Algebraica de desigualdades racionales

Para resolver algebraicamente la desigualdad $\frac{u}{v}\leq0$ se aplica la regla de los signos:

Un número positivo dividido entre un número negativo da un número negativo $(\frac{+}{-}=-)$.
Un número negativo dividido entre un número positivo da un número negativo $(\frac{-}{+}=-)$.
Un número positivo dividido entre un número positivo da un número positivo $(\frac{+}{+}=+)$.
Un número negativo dividido entre un número negativo da un número positivo $(\frac{-}{-}=+)$.

Hay dos casos para que el resultado sea negativo o positivo por lo que se deberá tomar la unión de esos dos casos.

Para $\frac{u}{v} \leq 0$ (resultado negativo o cero)

Caso 1) $u \geq 0$ y $v < 0$ (como se deben cumplir las dos condiciones se intersectan esos dos resultados)

y unir con

Caso 2) $u \leq 0$ y $v > 0$ (intersectando esos dos resultados)

Otra forma de solución gáfica de desigualdades racionales

Otra forma de solución de sigualdades racionales consiste en representar gráficamente la recta definida por el numerador y la recta definida por el denominador, analizar dónde son mayores o menores que cero y aplicar la regla de los signos.