UAM-A

Función polinomial

Un polinomio es una función que tiene la forma:  $$f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+...+a_2 x^{2}+a_1 x+ a_0$$

donde $a_i$ son constantes reales y $n$ es un entero positivo.

De manera general ya se puede decir que:

  1. Tienen dominio $D_f=(\;-\infty,\;\infty)$, a menos que se indique explícitamente otro.

  2. Son funciones continuas en todo su dominio porque: $$\lim_{x\rightarrow c}\;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0=$$ $$a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+...+a_2c^2+a_1c+a_0\;=f(c)$$ para $c∈D_f$

  3. No tienen asíntotas verticales ya que ningún valor de $x$ genera una división entre cero.

  4. No tienen asíntotas horinzontales, los límitas de un polinomio cuando $x$ tiende a infinito o a menos infinito son también infinitos (positivos y/o negativos).

Las funciones constantes $f(x)=a_0$ tienen como grafica una recta horizontal que corta al eje $y$ en $a_0$.

Los polinomios de primer grado: $f(x)=a_1x+a_0$ tienen como gráfica una recta con pendiente $a_1$ y corte al eje $y$ en $a_0$.

Los polinomios de segundo grado:$f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ tiene como gráfica una párabola (con eje de simetría vertical) que:
  1. tienen ceros o raíces (puntos de corte al eje $x$) en $x_{1,2}=\frac{-a_1±\sqrt{{a_2}^2-4a_1a_0}}{2a_1}$ o no, si ${a_2}^2-4a_1a_0 <0$,

  2. corte al eje $y$ en $a_0$

  3. tiene vértice en $(x_v, y_v)$ donde $x_v=\frac{-a_1}{2a_2} $ y $y_v=f(x_v)$;

  4. abre hacia arriba si $a_2>0$ y abre hacia abajo si $a_2<0$ (ver desigualdades de segundo grado)

Ejemplo:

Para la función  $f(x)=2x^3-8x$  (polinomio de tercer grado con $a_3=2$, $a_2=0$, $a_1=-8$,  y  $a_0=0$.


Obtener el dominio, los ceros o raíces, la paridad, el punto de corte al eje  $y$,  las asíntotas verticales y horizontales, los intervalos de continuidad y clasificación de discontinuidades, el esbozo gráfico, el rango, la monotonía y los intervalos donde es positiva o cero y donde es negativa.