Si se tiene una función $S(t)$ que da la posición de un móvil, en una recta real, en el momento $t$, se define la velocidad promedio
en un intervalo de tiempo $[ t_1 , t_2 ]$ como $v_p=\frac{S(t_2)-S(t_1)}{t_2 - t_1}$ : la diferencia de posiciones
(igual a la distancia recorrida, cuando el movimiento tiene la misma dirección) entre el tiempo transcurrido, longitud del intervalo de tiempo: $t_2 - t_1$ .
La velocidad instantánea se define como el límite de la velocidad promedio cuando la longitud del intervalo de tiempo se va a cero, o sea un instante, esto es:
$$v(t_1)=\underset{t_2 \to t_1}{\lim}\frac{S(t_2)-S(t_1)}{t_2 - t_1}=\underset{t \to t_1}{\lim}\frac{S(t)-S(t_1)}{t - t_1}.$$
O si en esta fórmula se define $t_2=t_1+h$ se tiene que cuando $t_2 \rightarrow t_1$ entonces $h \rightarrow 0$ y se puede replantear la velocidad instantánea como:
$$v(t_1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{S(t_1+h)-S(t_1)}{t_1+h - t_1}=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{S(t_1+h)-S(t_1)}{h}.$$
Este límite se define como la derivada de la función $S(t)$ en el momento $t=t_1$ y se denota como:
$$S´(t_1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{S(t_1+h)-S(t_1)}{h}.$$
Esta es otra forma de llegar al concepto de la derivada.
Nótese que es totalmente análogo a lo planteado en el contexto geométrico como pendiente de la recta tangente. Y la velocidad promedio como pendiente de la recta secante.
Si la posición de una partícula que se mueve en una recta está dada por la función $S(t)=4t-t^2\;\; dm$. para $t≥0$ seg, obtener su velocidad promedio en los dos primeros segundos y su velocidad en el segundo uno.
Velocidad promedio:
$v_p=\frac{S(t_2)-S(t_1)}{t_2 - t_1}$
donde $t_2=2\;\;\;\;\;\; t_1=0$
$S(t_2)=s(2)=4(2)-(2)^2=8-4=4$
$S(t_1)=S(0)=4(0)-(0)^2=0$
$V_p=\frac{4-0}{2-0}=2\;\frac{dm}{seg}.$
Velocidad instantánea:
$v(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{S(1+h)-S(1)}{h}=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{4(1+h)-(1+h)^2-(4(1)-(1)^2)}{h}=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{4+4h-1-2h-h^2-4+1}{h}:\frac{0}{0}:indeterminado.$
$v(1)=\underset{h \to 0}{\lim}\frac{2h-h^2}{h}=\underset{h \to 0}{\lim}(2-h)=2\;\frac{dm}{seg}.$
Notese que $v(1)=S´(1).$